Функциональная полнота. Теорема Поста.

Функциональный набор логических функций  это такой набор функций, который позволяет любую функцию математической логики описать с помощью функций данного набора.

Теорема Поста. Для того чтобы набор функций {f₁,f₂,……f_n} был функционально полный необходимо и достаточно, чтобы для всего набора функций в целом не выполнялись свойства сохранения нуля, сохранения единицы, линейности, монотонности и самодвойственности.

Полноту набора удобно определять по таблице Поста, в клетках которой ставится знак «+» или «-» в зависимости от того, обладает функция из этого набора тем или иным свойством. В силу теоремы Поста для полноты системы необходимо и достаточно, чтобы в каждом столбце был хотя бы один минус.

{ }	T0	T1	L	M	S
F1	+	+	+	+	
F2					+

ПРИМЕР

Доказать, что набор функций6 дизъюнкция и отрицание является функционально полным.

	T0	T1	L	M	S
			+		+
V	+	+		+	

Логика предикат.

Предикат  это сложное высказывание, в котором аргументы принимают значение из некоторой вещественной области , а значение самого высказывания принимает значение истинно или ложно.

ПРИМЕР

Предикатом является высказывание – быть четным числом на множестве натуральных чисел:

- быть четным числом;

Предикаты могут быть одноместные - , двухместные - и многоместные -

Логические операции над предикатами.

Для предикатов выполнимы следующие операции:

Конъюнкция - это новый предикат, который принимает значение истинно при тех и только тех значениях из вещественной области , при которых оба предиката и истинны одновременно, и ложно во всех других случаях.

Дизъюнкция - это новый предикат, который принимает значение ложно при тех и только тех значениях из вещественной области , при которых оба предиката и ложны одновременно, и истинно во всех других случаях.

Отрицание предиката - это новый предикат, который принимает значение истинно при всех из вещественной области , при которых предикат принимает значение ложно и наоборот.

Квантовые операции.

Для предикатов кроме логических операций применимы кванторные операции: всеобщности и существования.

Пусть - предикат, определенный на множестве . Тогда - означает «для всякого (любого) истинно ». Символ называется квантором всеобщности.

Переменную в предикате называют свободной ( ей можно придавать различные значения из М), в высказывании переменную называют связанной квантором всеобщности.

Пусть - предикат, определенный на множестве . Тогда - означает «существует , для которого истинно ». Символ называется квантором существования.

ПРИМЕР

Пусть на множестве натуральных чисел задан предикат -«число кратно 3». Используя кванторы, из данного предиката можно получить высказывания:

- «все натуральные числа кратны 3»;

- «существуют натуральные числа, кратные 3».

Очевидно, что первое из данных высказываний ложно, а второе – истинно.

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть на множестве задан двухместный предикат . К данному предикату могут применяться кванторные операции как по одной, так и по двум переменным.

ПРИМЕР

Пусть предикат означает делится на без остатка., причем обе переменные определены на множестве натуральных чисел. Тогда применение кванторных операций приводит к следующим высказываниям:

1. - «для любого и для любого справедливо, что делится на без остатка.

2. - «для любого существует , который является делителем без остатка.

Нетрудно заметить, что первое высказывание является ложным, а второе – истинным.

Для многоместных предикатов, связанных по одной переменной справедливы следующие формулы:

,

где

,

где