5.2.2. Затухающие колебания

1) Уравнение затухающих колебаний

,

где – амплитуда затухающих колебаний; – начальная амплитуда (при t = 0); – коэффициент затухания; – круговая частота.

2) Логарифмический декремент затухания

,

где T – период колебаний; количество колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз.

3) Добротность колебательной системы при :

,

где – полная энергия системы; – потери энергии за период.

Примеры решения задач

Задача 1

Прибор для измерения плотности жидкостей – ареометр массой 0,8 кг с цилиндрической трубкой диаметром 0,3 см опущен в жидкость плотностью кг/м³. Ареометр получил небольшой импульс в вертикальном направлении и опустился на глубину см. Коэффициент сопротивления кг/с. Определить: циклическую частоту колебаний; количество колебаний, через которое амплитуда уменьшится в 3 раза.

Дано: m = 0,08 кг d = 0,3 см = м м кг/с	Решение: При опускании ареометра в жидкость появляется квазиупругая выталкивающая сила и сила сопротивления Уравнение движения ареометра

преобразуется в уравнение колебаний

где – коэффициент затухания; – собственная частота колебаний.

Частота затухающих колебаний

Подставляя числовые значения, получим:

Амплитуда затухающих колебаний

При уменьшении амплитуды в 3 раза

Отсюда

Учитывая, что а получим:

Подставляя числовые значения, получим:

5.2.3. Электромагнтные колебания

1) Эффективные (действующие) значения напряжения и силы переменного тока

, ,

где U_m и I_m – амплитудные значения напряжения и силы тока.

2) Закон Ома для цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор электроемкостью С

или ,

где Z = – полное сопротивление цепи; – индуктивное сопротивление; – емкостное сопротивление; – круговая частота переменного тока.

При этом сдвиг фаз между напряжением и силой тока определяется из условия

или .

3) Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,

,

где j – сдвиг фаз между напряжением и силой тока.

4) Период собственных электромагнитных колебаний в контуре без активного сопротивления (формула Томсона)

T = 2 ,

где L – индуктивность контура; С – электроемкость.

Примеры решения задач

Задача 1.

Разность потенциалов между обкладками конденсатора электроемкостью 0,5 мкФ в колебательном контуре изменяется со временем по закону U = 100sin1000pt B. Определить период собственных колебаний, индуктивность, полную энергию контура и максимальную силу тока, текущего по катушке индуктивности. Активным сопротивлением контура пренебречь.

Дано: мкФ = Ф Um = 100 B	Решение: Напряжение на конденсаторе изменяется по гармоническому закону U = Umsinwt, где Um – амплитудное (максимальное) значение
Т = ? Im = ? L = ?

напряжения на обкладках конденсатора; w – собственная круговая частота колебаний, которая связана с периодом соотношением T=2p/w. Отсюда находим

Т = 2π/1000π = 10^-3 с.

Период собственных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона T = 2p , откуда

L = ; L = = 0,2 Гн.

Полная энергия контура складывается из энергии электрического поля W_C конденсатора и энергии магнитного поля W_L катушки:

W = W_C+W_L = .

Полная энергия электрического контура равна максимальной энергии поля конденсатора W_Cmax = или максимальной энергии поля катушки W_Lmax = /2.

Таким образом,

W = .

З ная полную энергию, можно определить максимальную силу тока, протекающего по катушке индуктивности:

I_m = ; I_m = = 0,16 A.