1.3.2. Оценка случайных погрешностей прямых измерений

Как правило, результаты многократных наблюдений при прямых измерениях какой-то физической величины получаются одним оператором, в одинаковых условиях и с помощью одного и того же СИ. Такие измерения принято называть равноточными. Однако в целом ряде случаев возникает необходимость нахождения наиболее точной оценки измеряемой величины на основании результатов наблюдений, полученных в различных условиях, разными операторами, с применением разнообразных СИ (и даже различных методов измерений) и т.п. Естественно, результаты таких наблюдений будут иметь различную , и поэтому измерения следует считать неравноточными. Рассмотрим приемы оценки случайных погрешностей прямых равноточных и неравноточных измерений, полагая в обоих случаях, что систематические погрешности тем или иным способом исключены, т. е. результаты наблюдений являются исправленными.

Равноточные измерения

Приемы оценки случайных погрешностей прямых равноточных измерений стандартизованы и регламентируются ГОСТ 8.207—76. За результат измерения принимается оценка mх, вычисляемая по формуле (1.17). С увеличением n . Так как mx определяет среднее значение любой случайной величины, то при отсутствии систематических погрешностей mx=Q.Таким образом, mх, называемое средним арифметическим результатов наблюдений и обозначаемое чаще , является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой истинного значения измеряемой величины Q.

Случайная погрешность результата каждого наблюдения характеризуется, как уже указывалось, значением СКО σх. Поскольку при практических расчетах имеется возможность определять лишь значения

, (1.19)

называемые случайными отклонениями результатов отдельных наблюдений, то для расчета вместо (1.18) должна применяться следующая формула (ГОСТ 11.004—74):

. (1.20)

Аналогичным образом случайную погрешность результата измерения можно охарактеризовать значением СКО . Известно, что . Переходя к оценке и воспользовавшись формулой (1.20), находим:

(1.21)

Полученные точечные оценки и хотя и позволяют оценить результат измерения и его случайную погрешность, но не содержат никаких сведений о вероятности данных оценок. Поэтому задача оценки случайных погрешностей не исчерпывается вычислением и , и от точечных оценок мы должны перейти к так называемым интервальным оценкам, связанным с определением доверительных границ случайной погрешности результата измерения. Доверительные границы — это верхняя и нижняя границы интервала, внутри которого с заданной доверительной вероятностью Р находится погрешность результата измерения.

Если результаты наблюдений принадлежат распределениям (1.9) или (1.13), то для нахождения доверительных границ случайной погрешности результата измерения, обозначаемых , пользуются табличными значениями функций F(t) или F(t,n) соответственно. Так как распределение (1.13) более универсально, ГОСТ 8.207—76 рекомендует определять с помощью коэффициента Стьюдента t. Количественная связь между и t записывается без учета знака в виде:

, (1.22)

При практических расчетах значение следует определять для Р = 0,95. Если измерение нельзя повторить, ГОСТ 8.207—76 допускает принимать Р = 0,99. Поэтому в табл. 1.2 приведены значения t(n), заимствованные из таблицы F(t, n) для указанных значений Р.

Табл.1.2. Значение коэффициента t для распределения Стьюдента с (n-1) степенями свободы

n-1	P=0,95	P=0,99	n-1	P=0,95	P=0,99
3	3,182	5,841	16	2,120	2,921
4	2,776	4,604	18	2,101	2,878
5	2,571	4,032	20	2,086	2,845
6	2,447	3,707	22	2,074	2,819
7	2,365	3,499	24	2,064	2,797
8	2,306	3,355	26	2,056	2,779
10	2,228	3,169	28	2,048	2,763
12	2,179	3,055	30	2,043	2,750
14	2,145	2,977	∞	1,960	2,576

Если сравнить значения t, рассчитанные для разных распределений (см. табл. 1.1), то оказывается, что при Р>0,85 значения t максимальны для нормального распределения. Поэтому при неизвестной функции распределения (или невозможности проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному распределению) рекомендуется считать нормальным, так как надежность оценки повышается.

В заключение анализа приемов оценок случайных погрешностей прямых равноточных измерений рассмотрим так называемый критерий грубых погрешностей. Оказывается, что при n>30 и Р = 0,9973 из таблицы F(t) следует t = 3. Это значение t можно считать предельно возможным при определении по формуле (1.22), так как вероятность появления большего значения равна всего лишь 0,0027. Поэтому в метрологической практике критерий «трех сигм» принят в качестве критерия грубых погрешностей (см. § 1.1.3). Если

, (1.23)

то такое наблюдение содержит грубую погрешность и должно быть исключено при обработке результатов наблюдений. При n<30 более достоверна оценка грубой погрешности, сделанная в соответствии с указаниями ГОСТ 11.002—72, регламентирующего правила оценки анормальности результатов наблюдений.