Оцінка випадкових похибок при непрямих вимірюваннях
Результат непрямих вимірювань визначається шляхом розрахунку за якою небудь формулою. Величини, що підставляються у формулу, виходять із прямих вимірювань. Ці величини містять відомі похибки. Отже, і отриманий результат буде містити помилку. Це положення справедливе й для випадкових, і для систематичних похибок.
Варто врахувати, що при непрямих вимірюваннях у кінцеву формулу можуть входити:
а)
наближені величини, що є ірраціональними
числами. Наприклад,
тощо. Ці величини можуть бути взяті з
будь-яким ступенем точності, і тому їх
можна вважати постійними;
б)
наближені значення різних фізичних
сталих. Наприклад,
- швидкість світла;
- постійна Больцмана;
- заряд і маса електрона тощо. Ці величини
отримані в результаті численних і
складних вимірювань і мають більш
високий ступінь точності в порівнянні
з точністю звичайних вимірювань. Тому
ці фізичні величини можна вважати
практично точними;
в) наближені значення фізичних величин, отримані в результаті прямих вимірювань. Ці значення й містять як систематичні, так і випадкові похибки.
Розгляньмо методику визначення випадкових похибок при непрямих вимірюваннях. Будемо вважати, що систематичні похибки величин, отримані в результаті прямих вимірювань, виключені.
Нехай
шукана величина
залежить від двох вхідних у її розрахункову
формулу величин
і
,
тобто
.Величини
й
отримані в результаті багаторазових
вимірювань, і їх середні арифметичні
значення
і
,
а також їхні похибки відомі.
Якщо
і
одержали приріст
і
,
то величина
одержить приріст
:
.
Розкладімо праву частину цієї рівності в ряд Тейлора
Виконуючи лінійну інтерполяцію (зневажаючи похідними вище першої), одержимо
.
(2.1)
Слід
зазначити, що в деяких випадках
функціональна залежність між
і
може бути така, що частинна похідна при
визначених значеннях аргументу дорівнює
нескінченності. Наприклад:
Отже в околі цих крапок користуватися формулою (2.1) не можна. У цьому випадку необхідно робити параболічну апроксимацію, тобто враховувати і другі похідні.
Визначімо
похибку результату непрямого вимірювання
для випадку лінійної апроксимації. Для
цього зробімо
вимірювань величин
і
.
Похибка
для
-го
вимірювання буде дорівнювати
Піднесімо цей вираз у квадрат:
Просумуймо цю рівність по усім :
Розділивши праву і ліву частини на , одержуємо:
З огляду на що:
тоді
(2.2)
Розгляньмо
співмножник
останнього доданка, виразивши збільшення
через залишкові похибки,
(2.3)
З теорії ймовірності відомо, що коефіцієнт кореляції
При великих математичне сподівання буде:
З урахуванням цих виразів коефіцієнт кореляції можна записати у вигляді:
при
,
а з урахуванням (2.3)
(2.4)
З (2.4) випливає, що
Тоді (2.2) запишімо як
(2.5)
У загальному випадку
(2.6)
Тут
-
коефіцієнт кореляції величин
і
;
Знак
у формулі (2.6) визначає, що підсумовування
поширюється на всі різні парні комбінації
величин
.
За цією формулою розраховують
середньоквадратичну похибку результату
непрямого вимірювання згідно з відомою
функціональною залежністю й відомими
середньоквадратичними похибками прямих
вимірювань.
Варто розрізняти два випадки. Перший випадок, коли і незалежні, другий випадок, коли і залежні.