Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд.

Если ряд сходится, то общий элемент стремится к нулю при возрастании его номера.

Доказательство

Имеем . Если ряд сходится, то и . Поскольку

Из доказанного вытекает достаточный признак расходимости ряда.

Если не стремится к нулю, то ряд не может быть сходящимся.

Пример

ряд расходится, так как

Следует помнить, что стремление n-го элемента к нулю не является достаточным для сходимости ряда.

Рассмотрим ряд - гармонический ряд.

, но ряд расходится. Покажем, что . Для доказательства заменим некоторые элементы ряда меньшими числами и убедимся, что даже сумма меньших слагаемых будет стремиться к бесконечности.

Сделаем разбиение ряда на группы

Следующая замена

сумма каждой скобки равна . Поскольку таких скобок можно брать сколько угодно, то сумма стремится к бесконечности.

Таким образом, частичные суммы ряда неограниченно возрастают, следовательно, ряд расходится.

Пример

ряд расходится, так как даже при выполнении необходимого признака при

Ряды с положительными элементами. Достаточные признаки сходимости.

1. Признаки сравнения

Рассмотрим ряд

Лемма Если частичные суммы ряда с положительными элементами ограничены сверху, то ряд сходится. (

Доказательство

Так как , то частичные суммы ряда по мере возрастания числа элементов тоже возрастают

Но если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то по признаку Вейерштрасса она имеет предел, также не превосходящий числа М. Следовательно, имеем . Верно обратное. Если ряд с положительными элементами сходится, то его частичные суммы меньше суммы ряда:

Замечание

Если ряд с положительными элементами расходится, то его частичные суммы стремятся к бесконечности, то есть или другая запись .

Признак сравнения

Пусть даны два ряда с положительными элементами:

(1) и (2) и пусть каждый элемент ряда (1) не больше соответствующего элемента ряда (2) (*). Тогда

1. Если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1)

2. Если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2)

Доказательство

Докажем первую часть теоремы. Полагаем ,

По условию ряд (2) сходится, поэтому , где - сумма ряда (2). А из условия (*) следует, что . Получаем, что частичные суммы ряда (1) ограничены сверху. В силу доказанной выше леммы ряд (1) сходится.

Для доказательства второй части достаточно заметить, что, поскольку ряд (1) расходится, то его суммы неограниченно возрастают: .

Так как , то и . Следовательно ряд (2) расходится.

Признаки сравнения применимы и в том случае, когда условию (*) удовлетворяют элементы ряда не при всех n, а лишь начиная с некоторого n=N. Это следует из третьего свойства сходящихся рядов.

Примеры:

1. Ряд расходится, так как гармонический ряд расходится, а при n>1

2. Ряд сходится, так как сходится ряд (убывающая геометрическая прогрессия) и

Замечание

На практике признаки сравнения наиболее удобно применять в следующем виде:

Если , то ряды (1) и (2) или оба сходятся, или оба расходятся.

Доказательство

Из определения предела следует, что для всякого можно указать такое число N, что при всех n>N будет справедливо неравенство , где настолько мало, что .

Предположим сначала, что ряд (2) сходится. Тогда по свойству (1) сходится и ряд с общим элементом и по признаку сравнения сходится ряд (1), так как .

Наоборот, если ряд (2) расходится, то из неравенства будет следовать, что расходится ряд (1).

Пример: Ряд расходится, так как, выбирая - гармонический ряд и вычисляем

В качестве эталонов для сравнения рядов выбирают: гармонический ряд – расходящийся; бесконечно убывающая геометрическая прогрессия или ряд обратных квадратов – сходящиеся.