Ряды с произвольными элементами. Абсолютная сходимость
Знакочередующиеся ряды
Знакочередующийся ряд можно записать в таком виде:
(*), где
- положительные числа.
Достаточный признак сходимости – признак Лейбница
Если в знакочередующемся ряду абсолютные
величины элементов ряда убывают, то
есть в ряде (*)
и общий элемент
,
то ряд сходится, причем его сумма по
абсолютной величине меньше
;
остаток ряда
по абсолютной величине меньше абсолютной
величины первого из отбрасываемых
элементов
.
Доказательство
Возьмем для определенности перед всем рядом (*) знак плюс
Рассмотрим сначала последовательность частичных сумм с четными индексами и запишем их в виде
Так как по условию выражение в каждой
скобке положительно и число таких скобок
растет вместе с m, то
последовательность
будет возрастающей.
Наоборот, последовательность частичных сумм с нечетными индексами будет убывающей, так как
и сумма в квадратной скобке, на основании
только, что высказанных соображений,
будет возрастать вместе с m.
Таким образом
и
Легко заметить, что любая сумма с четным индексом меньше любой суммы с нечетным индексом:
Действительно, если m<k,
то
Если же
,
то
На следующем рисунке показано геометрическое изображение последовательности частичных сумм
Последовательность сумм с четными
индексами возрастает и ограничена
сверху: значит, она имеет предел
Так как
,
то есть суммы с нечетными индексами,
убывая, стремятся к тому же пределу S.
На рисунке ясно видно, что частичные суммы, приближаясь к своему пределу, будут по очереди то больше его, то меньше: ясно также, что сумма ряда S меньше любой суммы с нечетным индексом и в частности меньше .
Если бы перед всем рядом (*) стоял знак
минус, то рисунок надо было бы симметрично
отобразить относительно начала координат:
в этом случае было бы
.
Остаток ряда
представляет собой ряд, удовлетворяющий
всем условиям признака Лейбница. Поэтому
сумма
по абсолютной величине меньше первого
элемента в скобке, то есть
.
Теорема доказана.
Пример
Ряд
сходится, так как он удовлетворяет всем
условиям признака Лейбница.
Абсолютная сходимость
Для рядов с произвольным распределением знаков рассмотрим следующий достаточный признак сходимости
Если ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, сходится, то сходится и данный ряд.
Доказательство
сумма первых n
элементов ряда;
сумма всех положительных среди первых
n элементов ряда;
сумма абсолютных величин всех
отрицательных среди первых n
элементов ряда;
сумма абсолютных величин всех первых
n элементов ряда;
Тогда имеет место
и
Так как по условию
имеет предел (обозначим
),
а
и
- положительные и возрастающие функции
от n, причем,
и
,
то они имеют пределы. Поэтому
при
стремится к пределу. Теорема доказана.
Это достаточный признак не является
необходимым, то есть ряд
может сходиться, а ряд
- расходится.
Пример
- сходится
- расходится (ряд из абсолютных величин - гармонический ряд)
Определение
Ряд, абсолютные величины элементов которого образуют сходящийся ряд, называется абсолютно сходящимся.
Если ряд сходится, а ряд образованный из абсолютных величин его элементов, расходится, то данный ряд называется условно сходящимся ( не абсолютно).
Например - условно сходящийся.
Указанное разграничение абсолютной и условной сходимостей рядов является весьма существенным.
Оказывается, что некоторые свойства конечных сумм переносятся только на абсолютно сходящиеся ряды; условно сходящиеся этими свойствами не обладают.
Так абсолютно сходящиеся ряды обладают переместительным свойством (при любой перемене мест элементов абсолютно сходящихся рядов он остается абсолютно сходящимся и с той же суммой). Это свойство отсутствует у условно сходящихся рядов. Оказывается, переставляя элементы такого ряда, можно добиться того, что сумма ряда изменится.
Пример
Рассмотрим ряд и переставим элементы ряда таким образом
Сложим каждый положительный элемент
с идущим после него отрицательным:
В результате получим ряд, элементы
которого образованы произведениями
элементов исходного ряда на величину
.
Но такой ряд по свойству 1 также сходится
и его сумма равна
суммы исходного ряда.
Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать
Определение
Под произведением двух сходящихзся рядов
(1)
(2)
Понимается следующий ряд
(3)
В каждой группе элементов этого ряда, объединенных скобками, сумма индексов сомножителей постоянна: в первой – 2; во второй – 3; … ; в n – ой – (n+1)
Теорема ( без доказательства)
Если ряды (1) и (2) абсолютно сходятся, то их произведение есть также абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна произведению сумм рядов сомножителей
