Бақылау сұрақтары:

1. Түзудің жазықтықтағы теңдеуі бұрыштық коэффициентінің геометриялық мағынасы қандай?

2. Түзудің кесінділік теңдеуі.

3. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық.

4. Жазықтықтағы түзулердің параллелдік шарты.

5. Жазықтықтағы түзулердің перпендикулярлық шарты.

6. Жазықтықтардың параллелдік шарты.

7. Жазықтықтадың перпендикулярлық шарты.

8. Жазықтық пен түзу арасындағы бұрыш.

Әдебиеттер:

Негізгісі [1] § 8,9, беттер. 49-71

[19] 1.5, беттер. 23-33

Қосалқысы

[29] Тарау 2.6.6. беттер. 199-206

Дәріс № 10 Тақырып № 4 Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар. Екінші ретті беттер

Жазықтықта теңдеулері екінші ретті көпмүше көмегімен, яғни теңдеу құрамындағы және айнымалыларының кем дегенде біреуі екінші ретті боып берілген сызықтарды екінші ретті қисықтар деп атайды. Енді осы қисықтардың канондық түрлерін қарастыралық.

Эллипс 1. Айталық жазықтығында, фокустар деп аталатын белгіленген және нүктелерінің ара қашықтығы –ға тең болсын ( – фокустық ара қашықтық). Бұл нүктелерді өсінде координаталар бас нүктесіне байланысты симметриялы орналастыралық, яғни және етіп алайық. Айталық 2a>2c болатындай а саны берілсін.

Анықтама. Берілген фокустардан ара қашықтығы қосындылары тұрақты санына тең болатындай жазықтықтың барлық М нүктелері жиынын эллипс деп атайды (Сурет 4.1).

деп алып шартынан эллипс теңдеуін аламыз:

;  



 



.

болғандықтан . деп алып , теңдігін аламыз. Бұл теңдеуді өрнегіне бөліп келесі теңдеуді аламыз:

, мұнда .

Алынған теңддеуді эллипстің канондық теңдеуі деп, ал а және сандарын оның жарты (үлкен және кіші) өстері деп атайды.

Егер , онда ; , , яғни эллипс өсін нүктелерінде қиып өтеді, осы сияқты эллипс өсін нүктелерінде қиып өтеді. Осы координаталық өстермен қиылысу нүктелерін эллипстің төбелері деп аталады.

D₁ Y D₂

M

O X

F₁ F₂

Сурет 4.1

Канондық теңдеумен берілген эллипс үшін нүктесі оның симметрия центрі болып, ал және эллипстің симметрия өстері. Эллипстің фокустары арқылы өтетін өсті ( ), оның фокальдық өсі деп, ал саны оның эксцентриситеті деп аталады. Эллипс үшін . Фокальдық өске перпендикуляр және эллипс центрінен (О нүктесінен) қашықтығында өтетін түзулер эллипстің директрисасы деп аталады (4.1 суретінде эллипс директрисалары және арқылы белгіленген).

Мысал 1. теңдеуімен берілген эллипстің канондық теңдеуін, фокустарын, жартыөстерін, эксцентриситеті мен директрисасын анықтау керек.

Берілген теңдеуді 36−ға бөліп, келесі теңдеуді аламыз:

.

, болғандықтан жартыөстер . қатынасынан екенін және фокустары , нүктелерінде болатыны шығады. Эксцентриситет , ал директрисасы келесі теңдеумен анықталады:

Ескерту 1. Егер эллипс

, мұнда

теңдеуімен берілсе, онда эллипстің жарыөстері және а, ал фокустары , өсінде орналасады. Оның эксцентриситеті

,

ал директрисасы өсіне перпендикуляр және координаталар бас нүктесінен қашықтығында орналасады (Сурет 4.2).

Ескерту 2. Уравнение

определяет эллипс, полученный из эллипса с каноническим уравнением путем параллельного переноса его центра в точку . При этом параллельно переносится сам эллипс, его фокусы и директрисы. Это следует из того, что при замене переменных и система координат получается из путем параллельного переноса точки в точку

Y

D₂

F₂

X

F₁

D₁

Рис.4.2

Мысал 2. теңдеуімен берілген эллипсті кескінделік. Оның центрін, фокустарын, жартыөстерін және директрисасын анықтау керек.

Берілген теңдеуде және айнымалылары бойынша толық квадратын бөліп жазып, оны былай түрлендіреміз:

;  ; 

 ;  .

Онда бұл эллипс центрі , жартыөстері . болғандықтан оның фокустары және , ал , то болғандықтан оның директрисы теңдеуімен анықталады (Сурет 4.3).

2. Егер болса, онда эллипс фокустары оның центрімен беттеседі. Мұнда болып эллипстің канондық теңдеуі былай жазылады:

немесе .

Бұл радиусы а болатын шеңбердің канондық теңдеуі. Шеңбер үшін эксцентриситет , ал директрисы болмайды.

Центірі нүктесінде болатын шеңбер теңдеуі:

.

Мысал 3. Центірі нүктесінде болатын және координаталар бас нүктесі арқылы өтетін шеңбер теңдеуін жазалық. Шеңбер радиусы болғандықтан оның теңдеуі былай жазылады: .

Сурет 4.3

Сурет 4.4

Гипербола

Жазықтықта екі және фокустары мен саны берілсін.

Анықтама. Жазықтықта алынған екі фокустардан қашықтықтарының айырмасы тұрақты санына тең болатын барлық нүктелері жиынын гипербола днп атайды.

Гиперболаның канондық теңдеуі былай жазылады:

, мұнда .

а саны гиперболаның нақты жартыөсі деп, ал – оның жорамал жартыөсі деп аталады. Егер

деп алсақ, онда , яғни , олай болса, гипербола өсеін және нүктелерінде қиып өтеді және бұл нүктелер гиперболаның төбелері деп аталады. Ал егер болса, онда . Бұл теңдеудің нақты шешімі жоқ, сондықтан гипербола өсімен қиылыспайды. Элипсс сияқты гипербола үшін де нүктесі симметрия центірі, ал және өстері оның симметрия өстері болады. Гиперболаның эксцентриситеті мен директрисасы да эллипске ұқсас анықталады, тек мұнда .

Анықтама. Егер түзуі мен қисығы нүктелері ара қашықтығы,нүктелер қисық бойымен шексіздікке ұмтылғанда, нөлге ұмтылса, онда түзуі қисығы үшін асимптота деп аталады.

Асимптотаның дәл анықтамасы функция шегі ұғымына арқа сүйейді, оны кейінірек оқып үйренеміз және түзуі гиперболаның екі тармағы үшін асимптота болатынын көрсетеміз.

гиперболасы 4.5 суретінде кескінделген.

Сурет 4.5

Мысал 1. теңдеуімен берілген эллипстің канондық теңдеуін, фокустарын, жартыөстерін, эксцентриситеті мен директрисасын, асиптоталарын анықтау керек.

Берілген теңдеуді 36−ға бөліп, келесі теңдеуді аламыз:

.

Олай болса, нақты жартыөсі , жорамал жартыөсі . қатынасынан және гипербола фокустары болатынын көреміз. Эксцентри ситеті , ал директрисасы , ал асимптоталары: .

Ескерту 1. теңдеуімен де нақты жартыөсі және жорамал жартыөсі болатын гипербола анықталады. Оны алдында қарастырылған гиперболамен түйіндес гипербола деп атайды. Оның фокустары өсінде орналасады:

Оның эксцентриситеті , ал директрисасы өсіне перпендикуляр және координаталар бас нүктесінен қашықтығында орналасады. Асимптота теңдеуі өзгермейді: . Түйіндес гипербола 4.6 суретінде бейнеленген.

Сурет 4.6

және гиперболалары өзара түйіндес деп аталады.

Ескерту 2.

теңдеуімен гипербола анықталады және ол гиперболасынан параллель көшіру арқылы алынады. Гипербола центрі .

Мысал. теңдеуімен берілген гиперболаның фокустарын, центрін, жартыөстерін, директрисасын, асиптоталарын анықтау керек. Берілген теңдеуде және айнымалылары бойынша толық квадратын бөліп жазып, оны былай түрлендіреміз:

Бұл гипербола центрі , нақты жартыөсі және жорамал жартыөсі .

Сурет 4.7

болғандықтан оның фокустары және ,

,

болғандықтан оның директрисасы былай жазылады: .

нүктесі арқылы өтетін асимптоталардың бұрыштық коэффициенті мынаған тең:

.

Сондықтан асимптота теңдеуі былай жазылады (Сурет 4.7):

.

Мысал. Күн жүйесі арқылы ұшып өтетін космостық дене траекториясы гипербола болады.

Парабола.

Айталық жазықтықта ара қашықтығы -ға тең болатын (директриса) түзуі мен точка (фокус) нүктесі берілсін. Айталық түзуі теңдеуі , ал фокусы - болсын.

Анықтама. Жазықтықтағы фокус пен директрисадан ара қашықтықтары тең болатын нүктелер жиынын парабола деп атайды (Сурет 4.8).

Айталық - нүктесінің директрисасына түсірілген проекциясы болсын. қатынасынан парабола теңдеуін аламыз:

  .

Бұл параболаның канондық теңдеуі деп, ал саны оның параметрі деп аталады.

Сурет 4.8

Парабола нүктесі арқалы өтеді, ол төбесі деп аталады. параболаның симметрия өсі. Парабола эксцентриситеті бірге тең. Параболаның асимптотасы жоқ.

Ескерту 1. Айталық

а) параболасының фокусы және директрисасы (Сурет 4.9);

в) параболасының фокусы және директрисасы (Сурет 4.10);

с) параболасының фокусы және директрисасы (Сурет 4.11);

Қарастырылған жағдайларда параболалардың төбелері координаталар бас нүктесі болады.

Сурет 4.9

Сурет 4.10

Сурет 4.11

Мысал 1. параболасының параметрін, фокусы мен директрисасын табу керек. болғандықтан . 1 ескертудің а) бабы бойынша парабола фокусы нүктесінде, ал директриса теңдеуі болады.

Ескерту 2. теңдеуі төбесі нүктесінде орналасқан және параболасын параллель көшіру арқылы алынатын параболаны анықтайды:

Мысал 2. параболасының параметрін, төбесін, фокусы мен директрисасын табу керек.

Берілген теңдеуде х бойынша толық квадратын бөліп, келесі теңдеуді аламыз:

;  ;  .

Сондықтан, парабола төбесі , параметрі және парабола тармақтары төмен бағытталған. Парабола фокусы төбесінен төмен қарай шамасына ығысқан және оның координаталары , директрисасы парабола төбесінен жоғары орналасқан және оның теңдеуі (Сурет 4.12).