Сурет 4.12

Мысал 3. Көкжиекке бұрыштап лақтырылған дене кедергісіз қалыпты жағдайда тармақтары төмен бағытталған парабола бойымен қозғалады.

Сурет 4.13

Эллипса, гипербола және параболаны анықтауға бір көзқарас қалыптастыратын келесі теореманы дәлелдеусіз келтіреміз.

Теорема. Жазықтықта түзуі (директриса) және оның бойында жатпайтын нүктесі (фокус), саны (эксцентриситет) берілген. Тогда геометрическое место точек плоскости таких, что отношение расстояние от Онда нүктесінен фокусына дейінгі қашықтықтың нүктесінен түзуіне дейінгі қашықтыққа қатынасы санына тең болатындай жазықтықтың барлық нүктелері жиыны:

а) егер болса, онда эллипс болады; в) егер болса, онда гипербола болады; с) егер болса, онда парабола болады; (Сурет 4.13).

Екінші ретті қисықтардың жалпы теориясы

Анықтама. Декарттық координаталары келесі теңдеуді қанағаттандыратындай жазықтықтағы барлық нүктелер жиынын екінші ретті қмсық деп атайды:

,

мұнда сандарының кем дегенде біреуі нөлге тең емес. Бұл теңдеу екінші ретті қисықтың жалпы теңдеуі деп аталады.

Егер жаъықтықта арнайы жаңа декарттықттық координаталар жүйесін таңдап алсақ, онда бұл жүйеде қисықтың теңдеуі жоғарыда қарастырылған канондық түрлердің біріне келеді (кейбір ерекше жағдайлардан өзге).

Теорема. Жазықтықта декарттықттық координаталар жүйесі табылып, мұнда қисық теңдеуі тқмендегі түрлердің біріне түрленеді. (Мұнда ).

1) - (эллипс);

2) - (гипербола);

3) - (парабола);

4) - (О нүктесі);

5) немесе (бос жиындар);

6) (екі қзара қиылысушы түзулер) және .

7) (екі өзара параллель түзулер ).

8) (түзу – өсі).

Екінші ретті беттер

Рассмотрим вначале частные виды поверхностей, определяемых в пространстве уравнениями, в которых неизвестные присутствуют только в первой или во второй степени.

1. Пусть в пространстве имеется кривая и прямая .

Анықтама. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) с направляющей и образующей называется геометрическое место точек пространства, лежащих на прямых, проходящих через точки параллельно (Сурет 4.14).

Сурет 4.14

Ескерту. Егер жазықтығында екі айнымалы теңдеуімен қайсыбір К қисығы анықталатын болса, онда тура осы теңдеу кеңістігінде бағыттаушысы К қисығы және жасаушысы өсіне параллель болатын цилиндрлік бетті анықтайды. Шынында да, егер (яғни ) болса, онда арқылы өсіне параллель болатын түзудің параметрлік теңдеуі былай жазылады:

Әрине, осы түзу бойында жататын кез келген нүкте координаталары теңдеуін қанағаттандырады. Сонымен қатар, егер нүктесі түзуі бойында жатпайтын болса, онда нүктесі де қисығы бойында жатпайды, себебі .

Осы ескертуден кез келген екінші ретті қисығы кеңістігінде жасаушысы өсіне параллель болатын цилиндірлік беттің біреуін анықтайды. Енді осы беттерді атап .

1.1. Эллипстік цилиндр. Оның бағытаушысы келесі канондық теңдеумен беріледі (Сурет 4.15.).

Рис. 4.15

Дербес жағдайда теңдеуімен дөңгелек цилиндр анықталады.

1.2. Гиперболалық цилиндр. Оның бағытаушысы келесі канондық теңдеумен беріледі (Сурет 4.16.).

1.3. Параболалық цилиндр. Оның бағытаушысы келесі канондық теңдеумен беріледі (Сурет 4.17.).

1.4. теңдеуі өсін анықтайды;

1.5. және - бос жиындар.

1.6. Уравнение - теңдеуі өсі бойымен қиылысатын екі жазықтықты анықтайды анықтайды;

1.7. - жазықтығына параллель екі жазықтық.

1.8. - жазықтығы.

Осы аталған беттердің барлығы да екінші ретті цилиндрлік беттер болады.

Cурет 4.16

Сурет 4.17

2. Айталық кеңістікте қисығы және оның бойында жатпайтын нүктесі берілсін.

Анықтама. бағыттаушы қисығы және нүктесі төбесі болатындай кеңістіктегі нүктесі арқылы өтіп қисығын қиып өтетін барлық түзулер жиынын конустық бет (конус) деп атайды. Мәселен, мектепте өтілген конустың бағыттаушы қисығы шеңбер болады және оның төбесі шеңбер центірі арқылы өтетін, оның жазықтығына перпендикуляр түзу бойында орналасады. Оны дөңгелек конус деп атайды.

Кех келген конустық беттің төбесі оның симметрия центрі болады. Бағыттаушы қисығы эллипс болатын конустық беттің канондық теңдеуі былай жазылады:

Осы теңдеумен шынында да төбесі О нүктесінде және бағыттаушысы эллипс болатын конустық бет анықталатынын тексерелік. Егер бағыттаушы жазықтығында жатады десек, онда берілген теңдеуде деп алып, бағыттаушы эллипстің канондық теңдеуін аламыз:

 .

Егер нүктесі осы эллипс бойында жататын болса, онда және нүктелері арқылы өтетін түзу теңдеуі былай жазылады:

.

Енді осы түзудің кез келген нүктесі конустық бетте жататынын көрсетелік. Ол үшін түзу нүктелері координаталарын конус теңдеуіне қойып, мынаны аламыз:

;

; егер ,

теңдігі орындалады, себебі сандары эллипс теңдеуін қанағаттандырады. Конустық бет өсі арқылы өтетін кез келген немесе жахықтықтары оны өзара қиылысушы екі түзу бойымен қиып өтетінін көреміз:

; .

Сондықтан конустық бетте түзуі нүктелерінен өзге нүктелер жоқ (Сурет 4.18). координаталық жазықтықтар конустық беттің симметрия жазықтықтары, ал өстері оның симметрия өстері болады.

Егер болса, онда конустық беттің жазықтығымен қимасы шеңберін береді, яғни дқңгелек конус алынады.

Сурет 4.18

Екінші ретті конустық бетті әртүрлі жазықтықтармен қия отырып біз эллипс, гипербола, парабола, нүкте, түзу немесе өзара қиылысатын екі түзуді аламыз. Сондықтан, ертеректе екінші ретті қисықтарды конустық қималар деп атаған.

канондық теңдеумен анықталатын бетті эллипсоид деп, ал – сандарын оның жартықстері деп атайды. Қима тәсілі көмегімен эллипсоидтың формасын анықталық. Ол үшін бетті әртүрлі жазықтықтармен қиып шығатын қисықтар түрі бойынша эллипсойдтың кеңістіктік формасын анықтаймыз. Эллипсойдтың координаталық жазықтықтармен қиылысактын қималарын анықталық.

а) жазықтығымен қимасы. Эллипсойд теңдеуіне мәнін қойып

,

теңдеуін аламыз. Бұл жартыөстері a және болатын жазықтығындағы эллипсті анықтайды.

в) жазықтығымен қимасы.

.

Бұл жартыөстері және c болатын жазықтығындағы эллипсті анықтайды.

с) жазықтығымен қимасы.

,

Бұл жартыөстері a және c болатын жазықтығындағы эллипсті анықтайды.

Қажет болса өзге де жазықтықтармен қималарын қарастыруға болады. Барлық жағдайларда қималардың эллипс болатынын көреміз. Олай болса эллипсойдтың формасы 4.19 суретте көрсетілгендей болады. Бұл эллипсойд О координаталар бас нүктесі, барлық координаталық өстерге және барлық координаталық жазықтыққа тәуелді симметриялы болады.

Эллипсоидты техника мен ғылымның түрлі салаларында қолданады. Мысалы, абсолютті қатты денені берілген нүктеде әртүрлі бағыттарда деформацияласақ онда деформациялық эллипсоидты аламыз.

Сурет 4.19

Екі жартыөстің тең болған жағдайында, мысалы, болса, онда эллипсоидтың кез келген , (мұнда ) жазықтығымен қимасы шеңбер болады. Сондықтан

эллипсойды

,

эллипсін өсі маңында айландыру арқылы алынады.

Егер үш жартыөстер тең болса , онда эллипсоид радиусы а және центірі координаталар бас нүктесі болатын сфераға айналады. Оның теңдеуі: .

(a, b, c>0),

теңдеуімен анықталатын бетті екі қуысты гиперболоид деп атайды. Қима тәсілі көмегімен оның формасын анықталық.

а) болғанда

,

бос жиыны алынады. Олай болса бұл гиперболоид жазықтығымен қиылыспайды.

б) болғанда

.

Бұл жазықтығында орналасқан, нақты жартыөсі с және жорамал жартыөсі болатын гиперболаны анықтайды.

в) болғанда

.

Бұл жазықтығында орналасқан, нақты жартыөсі с және жорамал жартыөсі а болатын гиперболаны анықтайды.

Сондықтан, екі қуысты гиперболоид формасы 4.20 суретте көрсетілгендей екі бөліктен құралады және ол нүктесіне, өстеріне, және жазықтықтарына байл анысты симметриялы болады.

Сурет 4.20

болғанда гиперболоидтың (мұнда ) жазықтығымен қимасы шеңбер болады, сондықтан

гиперболоиды

,

гиперболасын өсі маңында айналдырғаннан шығады.

, ,

теңдеуімен анықталатын бетті бір қуысты гиперболоид деп атайды. Қима тәсілі көмегімен оның формасын анықталық.

а) болғанда

,

жартыөстері a және b болатын эллипс алынады.

б) болғанда

.

нақты жартыөсі және жорамал жартыөсі c болатын гипербола алынады.

в) y=0 болғанда нақты жартыөсі а және жорамал жартыөсі c болатын гипербола алынады:

.

Сондықтан бір қуысты гиперболоид түрі 4.21 суретте көрсетілгендей болады.

Сурет 4.21.

Сондықтан бір қуысты гиперболоид нүктесіне, өстеріне, және жазықтықтарына байланысты симметриялы болады.

болғанда

бір қуысты гиперболоид , гиперболасын өсі маңында айналдыру арқылы алынады.

Екі қуысты гиперболоидтың тағы бір тамаша қасиеті бар. Оның кез келген нүктесінде жүргізілген жанама жазықтығымен қимасы екі қиылысушы түзу болады. Мысалы, гиперболоидтың жазықтығымен қимасы былай анықталады:

;  .

Бұл нүктесінде қиылысатын екі түзуді анықтайды. Сондықтан, бір қуысты гиперболоидты толығымен түзулер көмегімен тұрғызуға болады. Мұндай тұрғызылуы өте қарапайым кнструкция өте мықты болып келеді. Мәселен, Мәсуеудегі алғашқы телебаған осындай бірнеше гиперболойд қосындыларынан құралған болатын (Сурет 4.22).

Сурет 4.22

6)

,

канондық теңдеуімен анықталатын бетті эллипстік параболоид деп атайды. Қима тәсілі көмегімен оның формасын анықталық.

а) болғанда

теңдеуі нүктесін анықтайды. Олай болса, параболоид жазықтығын нүктесінде жанайды.

в) болғанда  . Бұл теңдеу жазықтығында парпболаны анықтайды.

с) болса, онда  . Бұл теңдеу жазықтығында парпболаны анықтайды.

Сондықтан, эллипстік параболоид формасы 4.23 суретте көрсетілгендей болады.

Сурет 4.23

және симметрия жазықтықтары, ал - симметрия өсі болады. болғанда эллипстік параболоид параболасын өсі маңында айналдырғаннан шығады. Бұл параболойдтың өсі арқылы өтетін жазықтықтармен жасайтын өималарының фокустары ортақ нүктесінде болатындай парабола болады. Егер айналу параболойдының фокусына жарық көзін орналастырса, онда параболойд бетінен шағылысқан сәуле оның өсіне параллель болады. Сондықтан, барлық автомобиль фаралары мен прожекторлар айналу параболойды формасында жасалады. Осылай телескоп айналары, лоеаторлар мен параболалық антенналарды айналу параболойды формасында жасалады.

7.

,

теңдеуімен анықталатын бетті гиперболалық параболоид деп атайды. Қима тәсілі көмегімен оның формасын анықталық.

а) болғанда

,

яғни жазықтығында екі қиылысушы түзулер теңдеуін аламыз.

б) болғанда ;  параболасын аламыз.

в) болғанда жазықтығында параболасын аламыз.

Осындай түрдегі беттерді ертоқымдық формадағы бет деп атайды (Сурет 4.24).

Сурет 4.24

Бұл бет үшін және - симметрия жазықтықтары, ал - симметрия өсі.

Бір қуысты парпболойд сияқты бұл беттерді де түзу сызықтар көмегімен тұрғызуға болады. Осындай берік конструкциялар өте үлкен, стадион сияқты ғимараттардың төбесін жабуға қолданады.

8. Анықтама. Кеңістікте декарттық координаталары

теңдеуін қанағаттандыратын барлық нүктелер жиынын екінші ретті бет деп атайды. Мұнда коэффициенттерінің кем дегенде біреуі нөлге тең емес.

Жоғарыда қарастырылған беттердің барлығы да осы анықтамаға келеді. Сонымен қатар, осы қарастырылған бетерден өзге екінші ретті беттер болмайтыны дәлелденген.

Теорема. Кез келген екінші ретті бет келесі беттердің бірі түріне жатады:

1. Екінші ретті цилиндірлік беттер;.

2. Екінші ретті конустық беттер;.

3. Эллисоидтар

4. бір немесе екі қуысты гиперболоидтар;

5. эллипстік немесе гиперболалық параболоидтар.

Екінші ретті беттің теңдеуі канондық түрге келетіндей декарттық координаталар жүйесі табылады.

Дәлелдеусіз..

Екінші ретті беттің жалпы теңдеуі бойынша оның түрін анықтау күрделі әрі қиын есеп. Алайда, теңдеу құрамында , және сияқты мүшелері болмаған жағдайларда бұл мәселені шешу, яғни беттің теңдеуін канондық түрге келтіру анағұрлым жеңілдейді.

Мысал.

айнымалылары бойынша толық квадратты бөліп жазу арқылы мынаны аламыз:

; 

Координаталар жүйесін , , формулаларымен параллель көшіру арқылы координаталар жүйесін аламыз, мұнда , ал берілген беттің канондық теңдеуі былай жазылады: . Сонымен, бұл екі қуысты гиперболойд.