Метод максимальної правдоподібності для неперервних випадкових величин.

Нехай Х неперервна випадкова величина, яка в результаті n незалежних дослідів приймає значення . Припускається, що вид щільності закону розподілу відома, але невідомий параметр який входить до нього, тобто .

Функцією правдоподібності для неперервної випадкової величини Х називають функцію .

Схема використання методу найбільшої правдоподібності для неперервних випадкових величин така ж сама як і для дискретних.

Властивості оцінок максимальної правдоподібності.

Оцінки одержані методом найбільшої правдоподібності завжди обґрунтовані, ефективні але не завжди незміщені.

Для забезпечення «гарних властивостей» оцінок максимальної правдоподібності необхідно виконання деяких спеціальних умов, які називаються умовами регулярності, які накладаються на щільності (у неперервному випадку), або на ймовірності (у дискретному випадку).

Для щільності введемо скорочене позначення .

Умови регулярності:

1. Щільність розподілу набору така, що область, де для всіх , не залежить від параметрів ;

2. Вираз можна два рази диференціювати, а вираз можна один раз диференціювати по параметрам.

3. при

У випадку коли щільність залежить тільки від одного параметра, тобто умова 3) спрощується і має вигляд

Величина називається інформацією(по Фішеру) про невідомий параметр, що міститься в одному незалежному спостереженні.

Теорема про властивості оцінок максимальної правдоподібності.

Якщо для вибірки об’єму виконані умови регулярності, то:

1. розв’язок рівнянь правдоподібності єдиний

2. обґрунтована оцінка параметра

3. розподіл оцінки асимптотично нормальний і граничний розподіл має математичне сподівання і дисперсію

4. оцінка максимальної правдоподібності ефективна при

Нерівність Рао-Крамера-Фреше.

Нерівність для незміщених оцінок називається нерівністю Рао-Крамера-Фреше

ІНТЕРВАЛЬНІ СТАТИСТИЧНІ ОЦІНКИ.

Основні поняття теорії статистичних інтервальних оцінок.

Статистична оцінка, що визначається двома числами, кінцями інтервалу, називається інтервальною статистичною оцінкою.

Різниця між статистичною оцінкою та оцінюваним параметром , взята за абсолютним значенням, тобто , називається точністю оцінки.

Точність оцінки позначають .

Ймовірність з якою справджуватиметься нерівність називається надійністю.

Надійність оцінки позначають , тобто .

Інтервал , що покриває оцінюваний параметр генеральної сукупності з заданою надійністю , називають довірчим інтервалом.

Побудова довірчого інтервалу для генерального середнього при відомому значенні генерального середнього квадратичного відхилення із заданою надійністю .

Нехай ознака генеральної сукупності має нормальний закон розподілу.

Нехай відомі об’єм вибірки , вибіркове середнє , генеральне середнього квадратичного відхилення і надійність .

Тоді точність інтервальної оцінки обчислюється за формулою .

Число знаходиться з рівняння де функція Лапласа.

Значення функції Лапласа знаходяться або за допомогою таблиць для функції Лапласа, або за допомогою функції Excel НОРМСТРАСП(x)-0,5.

Рівняння може бути розв’язане або за допомогою таблиць для функції Лапласа, або за допомогою функції Excel НОРМСТОБР(p+0,5).

Довірчий інтервал для генерального середнього , у випадку коли ознака генеральної сукупності має нормальний закон розподілу, при відомому значенні середнього квадратичного відхилення із заданою надійністю і відомому об’ємі вибірки має вигляд:

де

В теорії довірчих інтервалів розглянутого типу виникають також такі задачі:

1. Визначити надійність якщо відомі об’єм вибірки , точність інтервальної оцінки , та середнє квадратичне відхилення . Розрахункова формула:

2. Визначити об’єм вибірки щоб задана точність інтервальної оцінки була гарантована з надійністю  . Розрахункова формула: , де знаходиться з рівняння