6. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Б рус, работающий преимущественно на изгиб называется б а л к о й. Правило знаков. На рис. 10, а показан бесконечно малый элемент, вырезанный из балки, и возможные направления поперечных сил в его торцевых (поперечных) сечениях. Поперечные силы считаются положи­тельными, если они стремятся повернуть элемент по часовой стрелке.

Изгибающий момент считается положительным, если элемент балки изгибается выпуклостью вниз или говорят - "ковшом" (рис. 10, б), т. е. таким образом, что его сжатые волокна находится в верхней части. Положительные ординаты эпюры изгибающих моментов откладывают вверх от оси абсцисс, т. е. в сторону сжатых волокон балки, поэтому это правило знаков часто называют правилом сжатого волокна.

Практически удобнее устанавливать знаки Q_у и М_z по внешним силам при этом отсеченную часть балки мысленно защемляют в прове­денном сечении.

Внешняя сила, стремящаяся повернуть отсеченную часть балки во по часовой стрелке, вызывает положительную поперечную силу.

Внешняя сила (момент), изгибающая отсеченную часть балки вы­пуклостью вниз ("ковшом"), т. е. таким, образом, что сжатые волокна находятся сверху, дает положительный изгибающий момент.

Следует иметь в виду, что при принятом правиле знаков внешние силы направленные вверх, всегда, т. е. независимо от того, приложены ли они к левой или к правой отсеченной части балки, дают положитель­ный изгибающий момент.

Рассмотрим примеры построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Пример 6.1

Построить эпюры Q_y и M_z для балки, изображенной на рис. 11.

Решение. Проводим сечение на расстоянии х от свободного конца балки и рассматриваем левую отсеченную часть (рис. 11). К этой части приложена равномерно распределенная нагрузка с результирующей си­лой q_х, приложенной всегда в середине рассматриваемого участка дей­ствия. Нагрузка стремится повернуть отсеченную часть против часовой стрелки, следовательно Q_у = - q х. Мысленно защемляя оставленную часть балки в сечении К, за­ключаем, что нагрузка q изгибает ее выпуклостью вверх, т.е. изгибаю­щий момент отрицателен

М_z = -qх×x/2 = -qх²/2.

Таким образом, поперечная сила изменяется вдоль балки по ли­нейному закону, а изгибающий момент - по квадратичному. Это под­тверждает правило 2 из п. 5.

Для построения эпюры Q_у достаточно найти ее ординаты в двух сечениях:

в начале балки при х = 0: Q_у = 0,

в заделке при х = l: Q_у = - ql (рис. 11).

Для построения эпюры М_z следует определить три-четыре ее ор­динаты.

При х = 0: М_z = 0; При х = l/2; М_z = - q(l /2)²/2 = -q l ²/8;

При х = l: М_z = - q l² /2 (рис. 11).

В дальнейшем при построении эпюры М_z на участках, где она из­меняется по квадратичному закону, можно использовать правило 2 без вычисления промежуточных значений.

При построении эпюр для балок, защемленных одним концом, ре­комендуется двигаться со свободного конца балок, т. е. оставлять часть балки, примыкающую к свободному концу; если оставить часть балки с заделкой, то предварительно (до применения метода сечений) следует определить реакции заделки. В этом нет необходимости, так как при движении со свободного конца значение реакций получается «автоматически»: Q_у и М_z в сечении заделки равны соответственно реактивной силе и реактивному моменту; в нашем случае:

M_А= ql²/2; R_А = ql (см. рис. 11).

Построение эпюр по характерным точкам с использованием пра­вил, изложенных в п. 5, производится без записи аналитических выраже­ний для Q_у и М_z. Вычислим значения Q_у и М_z в характерных точках, а в данном примере это начало и конец балки, и соединим полученные - ординаты соответствующей линией.

На свободном конце Q_у = 0, М_z = 0, так как здесь к балке не при­ложено сосредоточенных сил и моментов (правило 8 из п. 5). На правом конце (в заделке) поперечная сила должна быть равна сумме сил, при­ложенных к балке слева от этого сечения: Q_у = - ql. Соединяем полу­ченные ординаты прямой наклонной линией (правило 2 из п. 5). Скачок на эпюре Q_у - в заделке, он направлен вверх и равен |Q_у| = ql следоват ельно здесь действует направленная вверх реакция заделки R_А = ql .

Изгибающий момент в заделке M_А= ql²/2.

Момент изменяется по квадратичному закону с выпуклостью па­раболы вверх (правило 2 из п. 5). Касательная к параболе на свободном конце горизонтальна, так как в этом сечении Q_y = dM_z/dx = 0. Соединяя эти ординаты параболой, получаем эпюру М_z. На этой эпюре скачок в заделке, он равен по величине моменту в заделке M_А= ql²/2 и направле­ние скачка соответствует направлению момента (см. рис. 11).

Пример 6.2

П остроить эпюры Q_у и М_z для балки на двух опорах, изображенной на рис. 12, а.

Исходные данные: M_o = 10 кHм; F = 30 кН; q = 20 кH/м; а = 1 м; b = 3 м.

Решение. До построения эпюр необходимо из уравнений равновесия определить реакции опор:

ΣХ = 0; Н_В = 0.

ΣМ_В = 0; М_о+ q(a + b)[a + (a+b)/2] + F×a – R_А(a + b) = 0.

R_А = М_о /(a+b) + q[a + (a+ b)/2] + F×a /(a + b) = 10/(1+3) + 20[1 + (1+3)/2] + 30×1/(1+ 3) = 70 кH.

ΣМ_А = 0; M_o + qa² /2 – qb²/2 – Fb + R_В(a + b) = 0.

R_В = - М_о /(a+b) - q a²[(a+ b)2] + qb²/[2(a + b)] + F×b/(a+b) = - 10/(1+3) - 20×1² /[2(1+3)] +20×3² /[2(1+3)] +20×3 /(1+3) = 40 кH.

Проверка правильности определения реакций:

ΣY = 0: R_А + R_В - F - q(а + b) = 70 + 40 - 30 - 20(1+3) = 0.

Реакции определены верно.

Для построения эпюр балку разбиваем на три участка (см. рис. 12, а)

Первый участок: 0 ≤ x₁ ≤ а:

Из уравнений равновесия левой отсеченной части получаем:

Q₁= - qx₁ - уравнение наклонной прямой;

М₁ = - M_о - q x₁²/2 - уравнение параболы.

В начале участка при x₁ = 0: Q Q₁ = 0; М₁ = - М_о = -10 кНм.

В конце участка при x₁ = а: Q₁ = - qа = - 20×1 = - 20 кН;

М₁ = - М_о - qа²/2 = - 10 - 20×1²/2 = - 20 кНм .

Промежуточные точки параболы можно не вычислять, а исполь­зуя правило 2 п. 5 провести ее приближенно, направляя выпуклость вверх, против стрелок распределенной нагрузки q.

Второй участок: 0 ≤ x₂ ≤ b:

Рассматривая равновесие левой отсеченные части, получим:

Q₂ = - q(a + x₂) + R_А - уравнение наклонной прямой;

M₂ = - M_o – q (a + x₂)²/2 + R_А x₂ - уравнение параболы.

Определяем характерные ординаты:

при x₂ = 0: Q₂ = - qa + R_А = -20 + 70=50 кН;

M₂ = - M_o – qa²/2 = - 10 - 20×1²/2 = - 20 кНм;

при x₂ = b; Q₂ = - q(a+b) + R_А = - 20(1 + 3) + 70 = -10 кН;

M ₂ = - M_o – q (a + b)²/2 + R_А b= - 10 -20 (1+3)²/2 + 70×3 = 40 кHм.

По полученным значениям строим эпюру Q_у (рис. 12, б), а для построе­ния эпюры М_z требуется еще дополнительно определить координату се­чения, в котором возникает М_экстр и его величину, так как эпюра Q_у на этом участке плавно переходит через нуль (см. правило 4 п. 5).

Методика определения М_экстр.

Определяем координату сечения, в котором возникает М_экстр, из условия, что поперечная сила в этом сечении равна нулю:

Q₂ = 0: - q (а + х_2экстр) + R_А = 0,

х_2экстр = R_А /q - a = 70/20 – 1 = 2,5 м.

Величину М_2экcтр получаем, подставляя в уравнение М₂ координату х_2экстр:

М_2экcтр = - M_o - q (а + х_2экстр)²/2 + R_А х_2экстр = - 10 – 20 (1+ 2,5)²/2 + 70×2,5 = 42,5 кHм.

Третий участок: 0 ≤ x₃ ≤ a:

На этом участке рациональнее рассматривать равновесие правой отсеченной части, так как на нее действует меньше нагрузок и уравне­ния будут проще:

Q₃ = - R_В - уравнение прямой, параллельной оси,

М₃ = R_Вх₃ - уравнение наклонной прямой.

Характерные ординаты:

при х₃ = 0; М₃ = 0;

при х₃ = а: М₃ = R_Ва = 40×1 = 40 кНм.

Q₃ = - 40 кН в любом сечении третьего участка, так как не зависит от текущей координаты х₃.

По полученным значениям построены эпюры Q_у (рис. 12, б) и М_z (рис. 12, в).

Пример 6.3

Построить эпюры Q_у и М_z для балки с промежуточным ("висячим") шарниром, изображенной на рис. 13, а.

Исходные данные: F = 5 кН; М_о = 15 кНм; q = 50 кН/м; а = 3 м; b = 2 м.

Решение. Особенность балок с промежуточным шарниром заключается в том, что они имеют четыре неизвестные реакции опоры, но их можно определить из уравнений статики, используя дополнительное уравнение равновесия - равенство нулю момента в промежуточном шар­нире.

ΣХ = 0: Н_С = 0.

Из суммы моментов относительно шарнира Е для сил, приложенных только к левой части:

(ΣМ_А)_лев = 0: F×2а + М_о - R_Aа = 0;

ΣМ_В = 0: F(2a + b) + M_o – R_A(a + b) + R_Сb – qb² /2 = 0;

R_С = [R_A(a + b) + qb² /2 – F(2a + b) - M_o]/b = [15(3 + 2) + 50×2²/2 -5(2×3+2)-15]/2 = 60 кH;

(ΣМ_А)_пр = 0: R_С2b + R_Bb - qb(b + b/2) = 0;

R_B = [qb(b + b/2) - R_C2b]/b = [50×2(2+2/2)- 60×2×2]/2 = 30 кH.

Проверка правильности определения реакций:

ΣY = 0: R_А + R_B + R_C – F – qb = 15 + 70 + 60 – 5 - 50×2 = 0.

Реакции вычислены верно.

Для построения эпюр Q_у и М_z балку разбиваем на три участка (см. рис13, а).

Первый участок: 0 ≤ x₁ ≤ a:

Из условия равновесия левой отсеченной части:

при x₁ = а: Q₁ = - 5 кН; М₁ = - Fа = -5×3 = - 15 кНм.

Второй участок: 0 ≤ x₂ ≤ (a + b):

Из условия равновесия левой отсеченной части:

Q₂ = - F + R_A = - 5 + 15 = 10 кН;

М₂ = - F(а + x₂) - М_о + R_A x₂.

На участке, где расположен шарнир, рекомендуется вычислять момент в шарнире для проверки правильности вычислений. Момент в шарнире должен быть равен нулю:

при x₂ = 0: Q₂ = 10 кН; М₂ = - Fа - М_о = - 30 кНм;

при x₂ = а (в шарнире): Q₂ = 10 кН;

М₂ = - F×2а - М_о + R_Aа = -5×2×3 -15+ 15×3 = 0.

при x₂ = а + b: Q₂ = 10 кН;

М₂ = - F(2а+b) - М_о + R_A (а+b) = -5(2×3+2) - 15+ 15(3+2)=20 кНм.

Третий участок: 0 ≤ x₃ ≤ b:

Рассматриваем равновесие правой отсеченной части:

Q₃ = - R_С +qх₃; М₃ = R_С х₃ – q х₃²/2;

при х₃ = 0: Q₃ = - R_С = - 60 кН; М₃ = 0;

при х₃ = b: Q₃ = - R_С + qb = - 60 + 50×2 = 40 кН;

М₃ = R_С b-qb²/2 = 60×2 - 50 ×2²/2 = 20 кНм.

На этом участке эпюра Q_у пересекает ось, поэтому необходимо определить М_экстр, как и в примере 6.2. Из условия Q₃ = 0 находим координату х_экстр:

- R_C + qx_3экстр= 0; x_3экстр = R_C/q = 60/50 = 1,2 м;

M_экстр = R_C x_3экстр – qx²_3экстр/2 = 60×1,2 – 50×1,2²/2 = 36 кHм.

По полученным значениям строим эпюры Q_у и М_z (рис. 13, б).