Первообразная

Начальные сведения о первообразной вводится в 11 классе. Начинается с изучения понятия первообразной на основе механических представлений. Далее устанавливается ее св-ва и правила нахождения. Эти знания позволяют подвести учащихся к решению задачи о нахождении площади криволинейной трапеции как разности первообразных. Роль этой темы – школьный курс математики становится логически стройным, а также шире и глубже раскрывается значение математики для изучения других наук, у учащихся формируется диалектико – материалистическое мировоззрение, облегчается изучение физики и геометрии, повышается математический уровень учащихся.

Перед изучением темы в 11 классе необходимо повторить предел ф-ии, непрерывность и производную, физический и геом-ий смысл производной. Целесообразно обратиться к таблице, в которой записаны ф-ии и их производные, чтобы воспользоваться ею для отыскания ф-ии, производная которой задана. Изучение новой темы можно начать с решения конкретных задач, в которой показывается, что произвольная постоянная имеет действительный смысл. Учащихся подводят к опр-ию первообразной, записывают таблицу первообразных. На первых порах правильность решения проверяется дифф-ием, затем изучают основное св-во первообразных. Рассматривают 3 правила нахождения первообразных, которые легко доказываются, опираясь на опр-ие первообразных. Следующий важный вопрос в данной теме явл-ся понятие криволинейной трапеции и нахождение ее площади. Перед его рассмотрением необходимо вспомнить все о площадях и поставить проблему – как можно найти площадь произвольной фигуры F? Этот вопрос решается двояко: 1) доказывается теорема о площади криволинейной трапеции, т.е. сначала вводится ф-ия, затем доказывается, что она явл-ся первообразной; 2) нахождение площади криволинейной трапеции, образованной графиком непрерывной и неотрицательной ф-ии и прямыми.

Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х3 первообразная для f(х)=3х2 на (- ∞ ; ∞ ).

Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х3)`=3х2.

Логарифмическая функция

И зучение данной темы в курсе алгебры и начала анализа предусматривает изучение вопроса: обобщение понятий степени, показательная ф-ия, ее св-ва и график, основные показательные тождества, логарифмическая ф-ия, ее св-ва и график, основные логарифмические тождества, тождественные преобразования логарифмических выражений, решение логарифмических ур-ий, неравенств и их систем. Основная цель – обобщение и систематизация понятия степени, ознакомление с логарифмической ф-ией, их св-ами, формирование умения решать несложные логарифмические ур-ия и их системы. Достаточное внимание необходимо уделить тождественным преобразованиям логарифмических выражений при выполнении различных упр-ий и при решении ур-ий и неравенств. К понятию логарифма учащихся можно подвести в процессе решения ур-ия a^x=b в случае, когда b нельзя представить в виде степени с основанием a, следует ур-ие в случае b>0 имеет единственный корень, который наз-ся log_a b, a=b – основное логарифмическое тождество. Вводим понятие логарифмической ф-ии, рассматриваем св-ва ф-ии, область опр-ия, область значения, четность/нечетность, монотонность, теоремы, нули ф-ии, промежутки знакопостоянства, асимптоты и т.д. При работе с логарифмом применяются св-ва, вытекающие из св-тв показательной ф-ии:

1. log_a 1=0;

2. log_a a=1;

3. log_a (xy)= log_a x+ log_a y;

4. log_a(x/y) = log_a x - log_a y;

5. l og_a x=p log_a x= log_a x.

Для доказательства применяем основное логарифмическое тождество.

Наиболее доступным введением понятия логарифмической ф-ии можно провести после введения обратной ф-ии. Входят следующие вопросы: 1) обратимость ф-ии; 2) обратная ф-ия. Новое понятие поясняется на конкретных примерах, дается следующее опр-ие: Пусть f – произвольная обратимая ф-ия.Для любого числа y0 из ее области значения имеется одно значение x0 из области опр-ия, в том числе f(x0)= y0. Поставив в соответствие каждому y0 значение x0, получим новую ф-ию g с D(g)=E, E(g)=D.

И зучение логарифмической ф-ии начинается с введения опр-ия: ф-ия,заданная формулой у= log_a x (a>0, a1) наз-ся логарифмической с основанием a. Основные св-ва выводятся из св-тв показательной ф-ии:

1. D (y)=(0;+);

2. E(y)=R;

3. 0<a<1 a>1

Далее даются теоремы о нахождении производной логарифмической ф-ии, выводятся формулы, опр-ия.