4. Теорема о пределе суммы двух сходящихся последовательностей. Теорема о пределе модулей членов сходящейся последовательности.

Теорема 3: Если Xn –> a и Yn –> b, то Xn + Yn –> a + b.

Доказательство:

Xn –> a : Xn - a = n – б.м.п.

Yn –> b : Yn - b = n – б.м.п.

 Xn + Yn = a +b + n + n

Xn + Yn – (a +b) = n + n

 Xn + Yn –> (a + b);

#

Теорема 6: Если Xn –> a, то |Xn| –> |a|

Доказательство:

1) a = 0: Xn –> 0;  ? |Xn| –> 0



Xn –> 0: N(N : n>N(

Xn| Xn|| < 

N(N : n>N( Xn|| т.е Xn| –> 0

2) a0: Xn –> a; ?  Xn| - |a| - б.м.п.

Xn = a + n, где n – б.м.п.; Xn| - |a| = |a + n| - |a|=

= ((a+n)² – a²) / |a + n| +|a| = (|a + n| -|a|)^-1* [2an + n²];

(|a + n| -|a|)^-1– ограниченная последовательность <= 1/|a|,

[2an + n²] б.м.п.  Xn| - |a| - б.м.п. #

5. Теорема о пределе произведения двух сходящихся последовательностей.

Теорема 4. Если Xn –> a и Yn –> b, то Xn * Yn –> a * b

Доказательство:

Xn –> a : Xn - a = n – б.м.п.

Yn –> b : Yn - b = n – б.м.п.

Xn * Yn = ( a + n )( b + n ) = ab+ nb + na + nn

Xn * Yn - ab = (nb + na + nn) – это б.м.п.  Xn * Yn –> a * b

6. Теорема о пределе частного двух сходящихся последовательностей.

Теорема 5. Частное двух сходящихся последовательностей {Xn} и {Yn}, предел второй, из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {Xn} и {Yn}.

Доказательство.

Xn –> a : Xn - a = n – б.м.п.

Yn –> b : Yn - b = n – б.м.п. или

N(N : n>N(

Yn - b| 

Возьмем = |b|/2, тогда при n>=N(:

Yn - b| |b|/2 

b = (b - Yn) + Yn. Модуль суммы двух чисел не превосходит сумму модулей этих чисел. Тогда используя неравенство (3.20) :

|b| <= |b - Yn| + |Yn| < |b|/2 + |Yn|  |Yn| > |b|/2 при n>=N. (3.21)

Неравенство (3.21) позволяет утверждать, что при n >= N элементы Yn не обращаются в нуль и, начиная с номера N, можно рассматривать частное {1/Yn}. Из (3.21), в свою очередь, вытекает, что для всех n>=N справедливо неравенство |1/Yn| < 2/|b|.  при

n>=N последовательность {1/Yn} является ограниченной.

X_n/Y_n –a/b = ( X_nb –Y_na)/Y_n =1/Y_n(n – a/bn); 1/Y_n(n – a/bn) – б.м.п. ( как разность б.м.п.)  X_n/Y_n –> a/b. #

7. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Их связь.

Опр. 1 Последовательность {Xn} называется бесконечно большой, если

для  N(N : n>N(

Xn| 

Опр. 2 Последовательность {Xn} называется бесконечно малой, если

для  N(N : n>N(

Xn| <

Теорема 1. Если {Xn} – бесконечно малая последовательность и Xn  0, то {1/Xn} – бесконечно большая последовательность.

Доказательство:

{Xn} – б.м.п.:  N(N : n>N(

Xn| <

1/|Xn| = |1/{Xn}| > 1/

 N_o(N : n>N_o(

Xn|> {1/Xn} – бесконечно большая последовательность. #

Теорема 2. Если {Yn} – бесконечно большая последовательность, то n_o  N такое, что при n > n_o определена последовательность {1/Yn} – и она есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство:

{Yn} – б.б.п.:  N(N : n>N(

Yn| >В частности для =1 N(= N(1) = n_o и при n > N(1)  Yn| > 1

Рассмотрим {1/Yn} при n=n_o+1:

1/Yn| = |1/Yn|<1/n > max{n_o, N(



 N(max{n_o, N( : n>N(

Xn| < {1/Yn} – бесконечно малая последовательность.