14. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.

Определение. Последовательность {x_n} называется фундаментальной (последовательностью Коши), если для любого  > 0 найдется номер N такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию n>=N, и для любого натурального числа p (p=1,2,3…) справедливо неравенство:

|x_n+p – x_n| < 

Теорема. (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность {x_n} была сходящийся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть x_n  a. Фиксируем произвольное  > 0. Так как последовательность {x_n} сходится к пределу а, то для числа равного /2 найдется номер N такой, что при всех n >= N:

|x_n – a| <  (1)

Если p любое натуральное число, то при всех n>=N и подавно будет:

|x_n+p – a| < /2. (2)

Так как модуль суммы двух чисел не превосходит суммы их модулей, то из неравенств (1) и (2) мы получим при всех n >= N и для любого натурального числа p мы получим:

|x_n+p – x_n| = | [x_n+p – a] + [a - x_n]| <= |x_n+p – a| + |x_n – a| < ,  |x_n+p – x_n| <  это и означает, что это фундаментальная последовательность.

2) Достаточность. Пусть теперь {x_n} – фундаментальная последовательность. Например для  =1 существует n₁, такой что n > n₁ и m > n₁ имеет |x_n - x_m| < 1.

Фиксируя m_o > n₁ имеем |x_n - x_mo| < 1 и  |x_n| < 1+ |x_mo|

 |x_n| <= M, где M=max{|x1|,…|xn1|,1+|x_mo|} для всех nN, т.е. {x_n} – ограничена.

Значит, по теореме Больцано - Вейерштрасса существует сходящаяся последовательность {x_nk}, x_nk –> a. Покажем что {x_n} сходится к a.

Для данного  > 0:

 K(N : k>K(

x_nk – a| <

Кроме того, в силу фундаментальности {x_n}, n_ = n(: n_k,n > n_

x_n – x_nk| < /2

Положим n_max{n_n_k()} и фиксируем n_ko > n_. тогда при n > n_ имеем:

|x_n – a| <= |x_n – x_nko| + |x_nko – a| < . А это и означает, что limx_n=a #

15. Два определения предела функции в точке и их эквивалентность.

Опр.1. (по Коши). Пусть задана функция y=f(x): X  Y и точка a является предельной для множества X. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке a, если для любого  > 0 можно указать такое  > 0, что для всех xX, удовлетворяющим неравенствам 0 < |x-a| < , выполняется |f(x) – A| < .

Опр.2.(по Гейне). Число A называется пределом функции y=f(x) в точке a, если для любой последовательности {x_n} X, x_na nN, сходящийся к a, последовательность значений функции {f(x_n)} сходится к числу A.

Теорема. Определение предела функции по Коши и по Гейне эквиваленты.

Доказательство. Пусть A=lim f(x) – предел функции y=f(x) по Коши

и {x_n} X, x_na nN – последовательность, сходящаяся к a, x_n  a.

По данному  > 0 найдем  > 0 такое, что при 0 < |x-a| < , xX имеем |f(x) – A| < ,

а по этому найдем номер n_=n() такой, что при n>n_ имеем 0 < |x_n-a| < 

Но тогда |f(x_n) – A| < , т.е. доказано, что f(x_n) A.

Пусть теперь число A есть теперь предел функции по Гейне, но A не является пределом по Коши. Тогда найдется _o > 0 такое, что для всех nN существуют x_nX,

0 < |x_n-a| < 1/n, для которых |f(x_n)-A| >= _o. Это означает, что найдена последовательность {x_n} X, x_na nN, x_n  a такая, что

последовательность {f(x_n)} не сходится к A. #