1.7 Питання і вправи

1. Задачник [ ], задачі 1.1 — 1.7, 1.11.

2. Чи можна по емпіричній функції розподілу, приведеної на мал. 1, відновити вибірку Х₁,..., Х_п, якщо п відомо? А варіаційний ряд? Як це зробити? А якщо п невідомо?

3. Чи існує вибірка (Х₁,..., Х₆) обсягу 6 з намальованою нижче емпіричною функцією перерозподілу? А вибірка (Х₁,..., Х₁₂) обсягу 12? Якщо «так», то записати її і намалювати емпіричну функцію розподілу вибірки (2Х_1;..., 2Х₁₂).

4. Чи можна по гістограммі, приведеної на мал. 2, відновити вибірку Х₁,..., Х_n?

5. Намалювати емпіричну функцію розподілу, що відповідає вибірці обсягу п з рас­ прерозподілу Бернуллі Вр. Використовувати вибіркове середнє X. Довести безпосередньо, що виконано теорему Гливенко-Кантеллі:

6. Довести, пригадавши ЦПТ, що вибірковий k-й момент Xk є ще і асимптотично нормальною оцінкою для теоретичного k-ro моменту:

Який момент у випадкової величини Х_ при цьому повинен бути кінцевий? Чи Вірна фраза: «вибірковий k-й момент Xk прагне до теоретичного k-му моменту з швидкістю l

6. Пригадати, як знаходити по функції розподілу величини Х_ функцію розподілу першої і останньої порядкової статистики: Х = тіп{Х_,..., Хп}, Х = тах{Х1,..., Хп}. Виписати вираження для щільності цих порядкових статистик через функцію розподілу і щільність величини Х.

7. Довести (або пригадати), що функція розподілу k-й порядкової статистики Х має вигляд:

де F(у) функція розподілу величини Х. 8. З курсу «Економетрії»: довести, що середнєстатечне

а ) прагне до Х1 при k 0 б) прагне до Хn при k

Мається на увазі збіжність для будь-якого набору чисел Х1,..., Хп, такого, що середнє степенне визначено.

Вказівка. Винести Х1 (або Х(п)) _з-під кореня, скористатися леммою про двох міліціонерів.

.

2 Точечнеа оцінка

2.1 Параметричні сімейства розподілів

Розглядається наступна задача. Є вибірка об'єму п, елементи якої Х,..., Хп незалежні, однаково розподілені і мають «відомий» розподіл з деяким невідомим скалярним або векторним параметром в. Пусть параметр в приймає значення з деякої безлічі . Ми будемо вважати, що в класі розподілів кожний розподіл цілком визначається значенням параметра 0. Тобто рівність 01= 02 спричиняє рівність f01 = f02. Наприклад, розглядається задача наступного вигляду: для всіх i=1,...,n

(або одне знаємо, інше немає).

Така постановка має значення, оскільки рідко про експеримент зовсім нічого, що проводиться не можна сказати. Звичайно тип розподілу ясний зазделегідь, і потрібно лише указати значення параметрів цього розподілу.

Так, в широких припущеннях зростання юнаків одного віку має нормальний розподіл (з невідомими середнім і дисперсією), а число покупців в магазині протягом години (не часу списів) розподіл Пуассона, і знов-таки з невідомою «інтенсивністю» А.