2.2 Крапкові оцінки. Незміщенність, спроможність оцінок

Отже, нехай Х,..., Хп вибірка об'єму п з параметричного сімейства розподілів . Помітимо, що всі характеристики випадкових величин Х,..., Хп залежать від параметра θ. Так, наприклад, для Хі Є П_λ:

Щоб відобразити цю залежність, будемо писати Е_θХ₁ замість ЕХ₁ і т.д. Так, D_θ1Х₁ означає дисперсію, обчислену в припущенні θ = θ₁.

Вправа. Нехай Х₁ Є Bp, p₁= 0,5, р₂ = 0,1. Обчислити Е_РІХ₁, Е_Р2Х₁.

Визначення 2. Статистикою називається будь-яка (вимірна!) функція θ* = θ*(Х₁,..., Хп).

Зауваження 6. Статистика є функція від емпіричних даних, тобто від вибірки Х₁,..., Хп, але ніяк не від параметра в. Статістіка, як правило, предназначена саме для оцінювання невідомого параметра в (у цьому разі її називають «оцінкою»), і вже тому від нього залежати не повинна.

Взагалі кажучи, статистика є не «будь-хто», а «вимірна» функція від вибірки, але оскільки на практиці іншого не буває: ), ми на це звертати увагу не будемо.

Визначення 3. Статистика * = *(X₁,... ,Х_п)) називається незміщеною оцінкою параметра в, якщо для будь-кого   

Незміщеність властивість оцінок при фіксованому п. Означаєт ця властивість відсутність помилки «в середньому», тобто при систематичному використанні даної оцінки.

Визначення 4. Статистика * = *(Х₁,... ,Х_п)) називається спроможною оцінкою параметра в, якщо для будь-кого   

Властивість спроможності означає, що оцінка наближається до невідомого параметра при збільшенні кількості даних. Зрозуміло, що при відсутності цієї властивості оцінка абсолютно «неспроможна» як оцінка.

Приклад 3. Нехай Х1,..., Хп вибірка об'єму п, все X_i  N_a,2, де R,  > 0. Как знайти оцінки для параметрів а і ², якщо обидва ці параметри (можна вважати це і одним двумірним параметром) невідомі?

Ми вже знаємо хороші оцінки для теоретичного середнього, дисперсії будь-якого розподілу. І оскільки a = E_a,²X₁^, візьмемо в якості оцінки для а вибіркове середнє: а* = X. Лема 1 стверджує, що ця оцінка незміщена і спроможна.

незміщена вибіркова дисперсія.

, тобто навіть дві оцінки:

Оскільки

- вибіркова дисперсія і

Як показано в лемі 2, обидві ці оцінки спроможні, і одна з них незміщена (яка?).

Але такі «способи» отримання оцінок потребують систематизації. Помітимо відразу, що приведені нижче методи отримання оцінок ні з яких математичних аксіом не виводяться. Вони просто розумні з практичної точки зору. Саме на їх разумність потрібно звернути увагу.

2.3 Методи знаходження оцінок: метод моментів

Метод моментів полягає в наступному: будь-який момент випадкової величини Х_k (наприклад, k-й) є функція від параметра . У свою чергу, параметр  є функція (зворотна, якщо існує) від теоретичного k-ro моменту. Підставивши в цю функцію замість невідомого теоретичного k-ro моменту його вибірковий аналог, дістанемо замість параметра  оцінку *.

Отже, нехай X1,..., Хп вибірка об'єму п з параметричного сімейства розподілів _, де   . Нехай

причому функція h оборотна. Тоді як оцінка в* для в беремо рішення рівняння

Або (що те ж саме), спочатку вирішується рівняння (3) відносне , а потім замість істинного моменту беремо вибірковий:

Можна сказати, що ми беремо як оцінка таке (випадкове) значення параметра , при якому істинний момент співпадає з вибірковим.

Приклад 4 Нехай Х₁,...,Х_п — вибірка об'єм п, весь X_i  U_0,, де  > 0. Знайдемо оцінку метода момента (ОММ) по перший моменту:

Знайдем оцінку метода моментів (ОММ) по k-му моменту:

Перевірим властивість отриманих оцінок. Незміщеність:

2. Розглянути оцінка _оцінка Заметим, що Е_₂^* = Е_що, тогда як  = = (по лемеі 1).

Рівність Е_₂^* = 0 означати би, що для с.в.  = 3Х² виконувати Е_ = , а для величина  = виконувати Е_² = (E_)².

Пригадати той єдиний випадок, коли це можливо, щоб погодитися з висновком: оцінка ₂^* = — зміщати (як, проте, и оцінка _k^*, k > 2).

Спроможність:

1. По ЗБЧ, ₂^* = 2Х 2E_X₁ = 2/2 =   ₁^* = 2Х — спроможний.

2. Помітити, що по ЗБЧ (або по лемме 3 — тільки для тех, хто ее доводити) при п 

3. Оскільки функція безперервний для весь у > 0, то при п 

Вправа. Навіщо потрібен посилання на безперервність функція ?

Тобто вся послідовність

складається з спроможних оцінок, при цьому

тільки оцінка ₁* = 2Х — незміщена.

Зауваження 7 Може траплятися так, що оцінка *  _, тоді як   . В цей випадок в якість оцінка берет найближчий к * точка из , на худий кінець — з замикання , якщо  не замкнутий.

Приклад 5приклад Пусть X₁,..., Х_п — вибірка об'єм п, весь X_i N_a,1, де по який-то причина а _ 0. Шукати оцінка для а по перший момент:

Однак по умові а  0, тоді як X може бути і негативний. Зрозумілий, що якщо X < 0, то в якість оцінка для позитивного парметру а більше підійти 0. Якщо же X > 0, в якість оцінка треба брати X. Разом: а* = max{0, X} — оцінка метод момент.