4. Расчет точечных характеристик распределения

Для сгруппированных данных статистические числовые характеристики выражаются приведенными ниже формулами.

Статистическое среднее математическое ожидание определяется как

, (3)

где ― середины интервалов , k ― число интервалов группирования случайной величины.

Статистическая средняя дисперсия является характеристикой рассеивания случайной величины – разбросанности ее значений около математического ожидания, и определяется по формуле:

. (4)

После перегруппирования интервалов в таблице 2, число интервалов k = 5 (см. табл. 3), а значения = /2 приведены в таблице 4.

Статистическое среднее математическое ожидание, рассчитанное по формуле (3), составляет =0,1376.

Дисперсия =0,0196.

Таблица 4

Интервалы,
0,0000	0,046	18	0,0230
0,046	0,0945	14	0,0702
0,0945	0,1891	12	0,1418
0,1891	0,2836	5	0,2364
0,2836	0,6618	7	0,4727

Статистические среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации случайной величины составляют:

,

.

Величина коэффициента вариации весьма близка к единице, что характерно для экспоненциального закона распределения.

Центральные моменты рассчитываются по формуле

.

Центральные моменты 3-го и 4-го порядков:

= -0,0044, = 0,0016.

Рассчитаем также другие часто применяемые числовые характеристики случайных величин ― асимметрию и эксцесс.

Асимметрия S_k :

, S_k = 1,595.

Для симметричных распределений S_k = 0.

Четвертый центральный момент служит для характеристики крутости распределения и описывается с помощью эксцесса:

,

.

5. Гистограммы и определение закона распределения случайной величины

Для наглядного представления об эмпирическом распределении строится гистограмма (ступенчатая диаграмма) эмпирической плотности распределения случайной величины (рис. 7). По оси абсцисс откладываются интервалы (разряды) случайной величины x, и на каждом из интервалов строится прямоугольник с площадью, равной частоте появления случайной величины в данном интервале. Высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам и равны эмпирической плотности вероятности /n для каждого интервала.

Рис. 7. Ступенчатая диаграмма эмпирической плотности вероятности

В данном случае вид теоретической функции распределения случайной величины заранее не известен. Основой для подбора той или иной теоретической дифференциальной функции (плотности) распределения, служит внешний вид гистограммы. Сопоставив гистограмму, построенную по данным таблицы 3 (рис. 7), с теоретическими кривыми распределения, можно предположить, что анализируемая случайная величина подчиняется экспоненциальному закону распределения.

Экспоненциальный закон характеризуется плотностью распределения вида

,

где ― статистическое среднее математическое ожидание.

Рассчитанные значения плотности распределения на границах интервалов сведены в таблице 5.

Таблица 5

Границы интервалов
0	0	1	7,2674
0,0460	-0,3343	0,7157	5,2013
0,0945	-0,6871	0,5030	3,6557
0,1891	-1,3742	0,2530	1,8389
0,2836	-2,0613	0,1273	0,9250
0,6618	-4,8098	0,0081	0,0592

На гистограмме (рис. 8) по данным таблицы 5 построена выравнивающая кривая распределения, представляющая собой график теоретической функции f(t), которая, сохраняя в основном существенные особенности статистического распределения, свободна от случайных неправильностей хода гистограммы.