2.1. Одуi с разделяющимися переменными

Опр.: ОДУI называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно привести к виду: f₁(x)dx = f₂(y)dy.

Такими уравнениями являются:

а) ;

б) Р₁(х)Р₂(у)dx + Q₁(x)Q₂(y)dy = 0.

Пример 1. а) Найти общее решение уравнения (х0).

Решение: Данное уравнение относится к ОДУI с разделяющимися переменными (вид а). Приведем уравнение его к виду f₁(x)dx = f₂(y)dy.

Поскольку , то получаем .

Умножим полученное уравнение на dx и разделим на у: .

Затем проинтегрируем обе части уравнения: => . Используя свойства логарифмов, имеем: , откуда получаем решение

у = Сх (х≠0).

Ответ: Общим решением уравнения является функция у = Сх (х≠0).

б) Найти общее решение уравнения .

Решение: Это уравнение также является ОДУI с разделяющимися переменными (вид б). Поэтому разделим переменные, перенеся второе слагаемое в правую часть уравнения и разделив затем обе части уравнения на х и у:

; .

Интегрируем обе части уравнения:

.

Общее решение получили в виде общего интеграла.

Ответ: общее решение уравнения .

в) Найти решение задачи Коши: , у(1) = 2 (х0).

(Или, другими словами, найти частное решение данного уравнения при заданном начальном условии).

Решение: Частные решения получаются из общего при конкретных значениях произвольной постоянной С. Поэтому сначала находим общее решение уравнения: у = Сх (См. пример 1а).

А затем, используя начальное условие, получим: 2 = С1 => С = 2.

Т.о. окончательно имеем: у = 2х.

Ответ: решение задачи Коши у = 2х.

2.2. Однородные одуi

Опр.: ОДУI y’ = f(x, y) называется однородным, если для функции f(х, у) выполняется равенство: f(kx, ky) = f(x, y), где k – постоянная.

Однородное уравнение м.б. записано в виде: . Поэтому заменой оно сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. (Отметим, что если у = x∙u, то y’ = u + xu’ = u + x∙ .)

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное ОДУ1 является однородным, т.к. f(kx, ky) = = f(x, y).

Поэтому заменим , y’ = u + x∙ . Тогда относительно новой функции получим уравнение с разделяющимися переменными:

u + x∙ = u – 1.

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

x∙ = – 1 => du =∙– => u =∙ln .

Заменив ∙u = , окончательно получаем общее решение: у =х∙ln .

Ответ: Общее решение уравнения у =х∙ln .

2.3. Линейные одуi

Опр.: Линейным ОДУI называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной:

у’ + p(x)y = q(x) (1),

где p(x), q(x) - заданные непрерывные функции от х или константы.

Решение следует искать в виде у = u∙v (2),

где u(x) – ненулевое частное решение уравнения с разделяющимися переменными

u’ + p(x) ∙u = 0 (3), а v(х) – новая неизвестная функция.

Подставляя (2) в (1) имеем:

u’∙v + v’∙u + p(x) ∙u∙v = q(x)  (u’ + p(x) ∙u)∙v + v’∙u = q(x), учитывая (3), находим, что новая неизвестная функция v(x) будет удовлетворять уравнению:

v’∙u = q(x) (4).

Уравнения (3) и (4) являются уравнениями с разделяющимися переменными, из них находим u(x), v(x), причем для u(x) выбирается частное решение ≠ 0.

Затем найденные функции подставляем в (2).

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Это линейное ОДУ1, где p(x) = , q(x) = х .

Решение ищем в виде у = uv. Для того, чтобы найти функцию u, решаем уравнение вида (3) с разделяющимися переменными: .

=> => =>

(при интегрировании считаем, что произвольная постоянная С = 0).

Затем подставляем u в уравнение вида (4) и получаем также уравнение с разделяющимися переменными .

Решаем: => dv = dx => => v = x + C.

Т.о. имеем у = uv = х(х + С).

Ответ: Общее решение уравнения у = х(х + С).

В.3. ОДУII

ОДУII в общем виде : F(x, y, y’,y’’) = 0.

Если оно разрешено относительно у’’, то имеет вид: y’’ = f(x, y, y’).

Опр.: Задача нахождения решения уравнения y’’ = f(x, y, y’), удовлетворяющего начальным условиям: (где ), называется задачей Коши.

Опр.: Общим решением ОДУII называется функция у = φ(х, С₁, С₂), зависящая от двух произвольных постоянных С₁, С₂ при следующих условиях:

1. она является решение уравнения при любых значениях С₁, С₂;

2. при любых начальных условиях существуют единственные значения С₁ = С_{1 0}, С₂ = С_{2 0} такие, что у = φ(х, С_{1 0}, С_{2 0}) удовлетворяет данным начальным условиям.

Начальные условия можно задать и по-другому.

Пусть, например, решение ищется на отрезке [a, b]. Тогда для определения С_{1 0}, С_{2 0} можно задать условия: , т.е. задачу для ОДУII можно сформулировать следующим образом: на отрезке [a, b] найти решение ОДУII, удовлетворяющее условиям, заданным на концах отрезка.

F(x, y, y’,y’’) = 0, . Такая задача называется краевой задачей для ОДУII.