Тема 3. Неопределенный интеграл (ни)

1. Первообразная и неопределённый интеграл

Определение1: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в любой точке х  Х: (F(x))’=f(x).

Например, F(x)= - первообразная для функции f(x)=х⁴.

(Т.к. (F(x))’= f(x).)

Геометрический смысл: Найти первообразную для функции f(x) означает найти такую кривую у = F(x), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(x) в этой точке. ( ((F(x))’= tg = f(x) ).

Первообразная функции определена неоднозначно: если F(x) – первообразная для функции f(x), то F(x)+C – также первообразная для данной функции.

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) – первообразные для функции f(x) на промежутке Х, то существует такое число С R , что F₂(x) = F₁(x) + С.

(Т.е все первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга лишь на некоторую постоянную.)

Определение 2. Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается ,

где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная (С = const), - знак операции интегрирования, d – знак операции дифференцирования.

Теорема существования НИ. Любая непрерывная на некотором промежутке Х функция f(x) имеет первообразную на этом промежутке.

2. Основные свойства ни:

1. Производная от НИ равна подынтегральной функции, а дифференциал – подынтегральному выражению:

,

2. НИ от дифференциала некоторой функции равен этой же функции с точностью до некоторой постоянной: .

В частности, .

Замечание: Объединяя свойства 1 и 2, можно сделать вывод о том, что операции интегрирования и дифференцирования функции – это взаимообратные операции.

3. НИ от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме интегралов НИ от этих функций

.

4. Константу можно выносить за знак НИ:

, где с = const.

5. Свойство инвариантности формы НИ (т.е. независимости вида НИ от выбора аргумента):

В частности,

3. Таблица ни

Используя определение НИ и таблицу производных можно записать таблицу НИ.

Таблица 1 (неопределенных интегралов)

1. 2. 3. n ≠ –1; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. ; 10. 11. ; 12. (|x|<a, a≠0); 13. (a≠0); 14. (|x|≠a, a≠0); 15. .

4. Методы интегрирования

4.1. Метод разложения

Метод разложения заключается в разложении подынтегральной функции на сумму функций и использовании свойств неопределенного интеграла 3 и 4. Применяется, если интегралы от слагаемых табличные или известен метод их вычисления.

Пример 1.

= = =(св-во 3) =

= = (св-во 4) = = (используем формулы 3 и 4 из таблицы 1 н.и.)= =

= .

Ответ: = .

4.2. Метод замены переменной

Формула замены переменной: ,

где х = (t) – дифференцируемая функция на промежутке Х.

Пример 2. .

Данный интеграл вычисляется методом замены переменной (линейная замена). Обозначим выражение в скобках через t: 3х – 1 = t, тогда d(3х – 1)=dt => 3dх = dt => .

= = = = (по формуле 3 из таблицы 1 н.и.) = = = = .

Ответ: = .

Пример 3. .

Здесь при вычислении интеграла используется также метод замены переменной (нелинейная замена).

= = = = = (используем формулу 4 из табл.1 н.и.) = = .

Ответ: = .