§ 4. Нескінченні добутки.

Теоретичні питання.

1. Нескінченні добутки. Означення, зв'язок з рядами.

2. Умови збіжності нескінченних добутків.

3. Представлення функцій та у вигляді нескінченного добутку.

Приклад 1. Обчислити значення нескінченного добутка

.

Розв’язання. Як відомо, , . Враховуючи те, що , запишемо -й частковий добуток у вигляді

.

Обчислимо границю цієї послідовності

.

Відповідь: .

Приклад 2. Дослідити на збіжність нескінченний добуток

.

Розв’язання. Обчислимо визначений інтеграл

.

Оскільки послідовність монотонно зростає і , то послідовність є нескінченно малою та такою, що не міняє знака. Таким чином, наш нескінченний добуток збігається тоді і тільки тоді, коли збігається ряд

.

Це числовий ряд з додатними членами. Порівняємо його з числовим збіжним рядом . Для цього обчислимо границю . Оскільки , то

.

Таким чином, за теоремою порівняння ряд

збігається, а отже збігається і наш добуток.

Зауваження. Збіжність ряду можна довести безпосередньо, знайшовши суму ряду.

Відповідь : збігається.

Індивідуальні завдання

Завдання 7. Обчислити значення нескінченного добутку.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.

Завдання 8. Дослідити на збіжність нескінченний добуток

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.

§ 5. Функціональні ряди. Рівномірна збіжність.

Теоретичні питання.

1. Збіжна послідовність функцій: поточкова та рівномірна. Властивості рівномірно збіжних послідовностей.

2. Функціональні ряди. Поточкова і рівномірна збіжність функціонального ряду.

3. Необхідна умова рівномірної збіжності ряду. Критерій Коші.

4. Достатні ознаки рівномірної збіжності функціонального ряду Веєрштрасса, Харді-Діріхле та Харді-Абеля.

5. Властивості рівномірно збіжних рядів: неперервність суми, почленне інтегрування та диференціювання.

Приклад 1. Знайти область збіжності ряду

.

Розв’язання. Для будь-якого фіксованого існує номер такий, що для всіх виконується нерівність . Оскільки збіжність ряду не залежить від скінченої кількості доданків, то будемо надалі вважати, що наш ряд – це ряд з додатними членами. Порівняємо його з рядом

,

який, як відомо, збігається при . Для цього розглянемо границю

.

Отже наш ряд також збігається при і розбігається при інших значеннях .

Відповідь: .

Приклад 2. Дослідити на рівномірну збіжність функціональний ряд

.

Розв’язання. Оскільки , дослідимо на екстремум функцію при кожному фіксованому . Для цього знайдемо її похідну

.

Нас цікавлять тільки додатні значення аргументу , отже знайдемо значення в точці максимуму :

.

Оскільки ряд збігається, то за ознакою Вейєрштрасса наш ряд збігається для всіх .

Відповідь: рівномірно збігається для всіх .

Приклад 3. Довести рівномірну збіжність ряду

на множині , де .

Розв’язання. Розглянемо суму

.

Помножимо та одночасно поділимо її на , одержимо

.

Таким чином, маємо

.

Оскільки , то послідовність є монотонною. Покажемо, що вона прямує до нуля при рівномірно на множині , . Дійсно . Отже та такий, що для .

Оскільки виконуються всі умови теореми Харді-Діріхле, то наш ряд збігається рівномірно на вказаній множині.

Відповідь: доведено.

Індивідуальні завдання

Завдання 9. Знайти область збіжності ряду.

1.			2.
3.			4.
5.			6.
7.			8.
9.			10.
11.			12.
13.			14.
15.			16.
17.			18.
19.			20.
21.			22.
23.			24.
25.			26.
27.		28.
29.		30.

Завдання 10. Довести рівномірну збіжність ряду на вказаній множині

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.