Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Metodichni_vkazivki.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2025

Размер:

6 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

§ 7. Ряди Фур’є. Інтеграл Фур’є.

Теоретичні питання

1. Означення лінійного евклідового простору. Приклад: простір з означеною операцією скалярного добутку функцій. Означення евклідового нормованого простору. Норма функції в . Ортонормовані системи елементів в евклідовому нормованому просторі, означення ряду Фур’є елемента простору за цією системою. Приклад ряду Фур’є в .

2 . Приклади ортонормованих систем функцій (тригонометричні системи, системи комплекснозначних функцій). Знаходження норми цих функцій. Приклади рядів Фур’є кусково-неперервних функцій на (тригонометричний ряд, комплексна форма ряду Фур’є). Tеорема про зв’язок між дійсною і комплексною формами ряду Фур’є.

3 . Приклади рядів Фур’є кусково-неперервних функцій (на і на ). Частинні випадки. Означення многочлена степеня за ортонормованою системою функцій. Задача про найкраще середньоквадратичне відхилення.

4 . Мінімальна властивість коефіцієнтів Фур’є. Нерівність Бесселя. Замкнені системи функцій. Рівність Парсеваля. Збіжність у середньому квадратичному в . Повна система функцій. Лема Рімана.

5 . Інтегральне представлення часткової суми ряду Фур’є. Збіжність ряду Фур’є в точці. Ознаки Діні і Ліпшіца, наслідки з них.

6 . Рівномірна збіжність тригонометричного ряду Фур’є. Диференціювання та інтегрування ряду Фур’є.

7 . Інтегральна формула Фур’є, інтеграл Фур’є. Збіжність інтеграла Фур’є в точці (ознаки Діні та Ліпшіца).

Приклад 1. Для функції

а) обгрунтувати збіжність її ряду Фур’є;

b) намалювати графік;

c) обчислити коефіцієнти ряду Фур’є;

d) записати ряд Фур’є у тригонометричній формі;

e) записати ряд Фур’є у комплексній формі;

f) записати рівність Парсеваля;

g) знайти суми числових рядів, підставивши в ряд Фур’є значення , , , де - період;

h) намалювати графік суми ряду Фур’є.

Розв'язання. а) Функція має період . На проміжку вона є кусково-монотонною, кусково-неперервною та обмеженою. Отже за теоремою Діріхле її ряд Фур’є збігається у кожній точці.

b) Графік функції має вигляд

c) Коефіцієнти Фур’є обчислюємо аз формулами

;

d) Ряд Фур’є у тригонометричній формі має вигляд

e) Ряд Фур’є в комплексній формі має вигляд

де , , , .

f) Знайдемо інтеграл

Отже, рівність Парсеваля має вигляд

звідки одержуємо суму числового ряду

g) Підставимо в наш ряд Фур’є значення . Оскільки , маємо

Послідовність має вигляд

Звідси одержуємо

Таким чином, одержуємо суму числового ряду

Підставимо в наш ряд Фур’є значення . Оскільки , маємо

, тобто .

Підставимо в наш ряд Фур’є значення і знову одержимо тотожність .

h) Графік суми ряду Фур’є має вигляд

Приклад 2. Функцію , графік якої зображено на малюнку

розвинути в ряд Фур’є: a) за косинусами; б) за синусами; в) з періодом . В кожному випадку обгрунтувати збіжність ряду та побудувати графік суми ряду Фур’є.

Розв'язання. а) Продовжимо на проміжок парним чином

Розвинемо цю функцію в ряд Фур’є з періодом . Оскільки вона є кусково-монотонною, кусково-неперервною та обмеженою, то за теоремою Діріхле її ряд Фур’є збігається у кожній точці. Обчислимо її коефіцієнти Фур’є. За умовою , .

;

Ряд Фур’є має вигляд

Графік суми ряду Фур’є має вигляд

б) Продовжимо графік непарним чином на проміжок

Ряд Фур’є має вигляд

Графік суми ряду Фур’є має вигляд

в) Оскільки дана функція є кусково-монотонною, кусково-неперервною та обмеженою, то за теоремою Діріхле її ряд Фур’є збігається у кожній точці. Обчислимо її коефіцієнти Фур’є.

;

Ряд Фур’є має вигляд

Графік ряду Фур’є має вигляд

Приклад 3. Представити у вигляді інтегралу Фур’є функцію

Розв'язання. Оскільки функція абсолютно інтегрована на , є кусково-монотонною, кусково-неперервною та обмеженою, то її можна представити інтегралом Фур’є

де .

Відповідь: , де .

Приклад 4. Представити у вигляді інтеграла Фур’є функцію

де , враховуючи парність функції .

Таким чином,

Отже,

Враховуючи, що , маємо

Відповідь: .

Індивідуальні завдання

Завдання 22. Функція , що задана графічно, розвинути в ряд Фур’є: а) за синусами; б) за косинусами; в) з періодом

Завдання 23.

1.	Розкласти з періодом Т=2 в ряд Фур`є функцію
2.	Розкласти в ряд Фур`є функцію по косинусам
3.	Розкласти в ряд Фур`є функцію по косинусам
4.	Розкласти в ряд Фур`є функцію по синусам
5.	Розкласти в ряд Фур`є функцію по синусам
6.	Розкласти в ряд Фур`є функцію по косинусам
7.	Розкласти з періодом Т=6 в ряд Фур`є функцію
8.	Розкласти за синусами в ряд Фур`є функцію
9.	Розкласти за косинусами в ряд Фур`є функцію
10.	Розкласти в ряд Фур`є, що складається лише з косинусів, функцію
11.	Розкласти в ряд Фур`є функцію
12.	Розкласти в ряд Фур`є функцію
13.	Розкласти за косинусами в ряд Фур`є функцію
14.	Розкласти за синусами в ряд Фур`є функцію
15.	Розкласти в ряд Фур`є по косинусам функцію
16.	Розкласти в ряд Фур`є функцію
17.	Розкласти в ряд Фур`є по косинусам функцію
18.	Розкласти в ряд Фур`є по косинусам функцію
19.	Розкласти з періодом Т=10 в ряд Фур`є функцію
20.	Розкласти в ряд Фур`є, що складається лише з синусів, функцію
21.	Розкласти з періодом Т=3 в ряд Фур`є функцію
22.	Розкласти в ряд Фур`є функцію
23.	Розкласти в ряд Фур`є функцію
24.	Розкласти в ряд Фур`є по синусам функцію
25.	Розкласти в ряд Фур`є функцію
26.	Розкласти в ряд Фур`є по синусам функцію
27.	Розкласти в ряд Фур`є по синусам функцію
28.	Розкласти в ряд Фур`є функцію
29.	Розкласти з періодом Т=10 в ряд Фур`є функцію
30.	Розкласти в ряд Фур`є функцію

Завдання 24.

1.	Розвинути функцію в ряд Фур’є за синусами
2.	Розвинути функцію в ряд Фур’є за синусами
3.	Розвинути функцію в ряд Фур’є за синусами
4.	Розвинути функцію в ряд Фур’є за синусами
5.	Розвинути функцію в ряд Фур’є за синусами
6.	Розвинути функцію в ряд Фур’є за синусами
7.	Розвинути функцію в ряд Фур’є за косинусами
8.	Розвинути функцію в ряд Фур’є за косинусами
9.	Розвинути функцію в ряд Фур’є
10.	Розвинути функцію в ряд Фур’є
11.	Розвинути функцію в ряд Фур’є
12.	Розвинути функцію в ряд Фур’є
13.	Розвинути функцію в ряд Фур’є
14.	Розвинути функцію в ряд Фур’є
15.	Розвинути функцію в ряд Фур’є
16.	Розвинути функцію в ряд Фур’є за синусами
17.	Розвинути функцію в ряд Фур’є за косинусами
18.	Розвинути функцію в ряд Фур’є
19.	Розвинути функцію в ряд Фур’є
20.	Розвинути функцію в ряд Фур’є
21.	Розвинути функцію в ряд Фур’є
22.	Розвинути функцію в ряд Фур’є
23.	Розвинути функцію в ряд Фур’є
24.	Розвинути функцію в ряд Фур’є
25.	Розвинути функцію в ряд Фур’є за періодом Т=6
26.	Розвинути функцію в ряд Фур’є за періодом Т=3
27.	Розвинути функцію в ряд Фур’є за періодом Т=2
28.	Розвинути функцію в ряд Фур’є за періодом Т=2
29.	Розвинути функцію в ряд Фур’є за періодом Т=2
30.	Розвинути функцію в ряд Фур’є за періодом Т=2

Завдання 25. Представити функцію інтегралом Фур’є.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.
31.