3. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. Частные случаи.

Критерий устойчивости

При высоком порядке характеристического уравнения трудно определить его корни.

Критерий устойчивости- приемы или методы исследования устойчивости без определения корней характеристического уравнения замкнутой АС. Критерии устойчивости бывают: алгебраическими и частотными

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Известно Характеристическое уравнение замкнутой АС

Строим определитель Гурвица n-ого порядка. Строится следующим образом: 1-я строка коэффициенты с нечетными индексами. 2-я строка и последующие с индексами на 1 меньше. Если индес отрицательный или больше n то он равен 0.

Необходимое и достаточное условие для устойчивости замкнутой АС по критерию Гурвица: необходимо и достатосно чтобы все определители Гурвица были положительными.

Частные случаи:

1. Необходимое условие устойчивости- для устойчивости замкнутой АС необходимо чтобы все коэффициенты замкнутой АС были положительными

2. Если

3. Система 1-го порядка

Выполнение необходимого условия влечет достаточное условие.

Система 1-го порядка всегда устойчива, если коэффициент характеристического уравнения замкнутой АС замкнут

4.Система 2-го порядка

Выполнение необходимого условия влечет достаточное условие.

5.Система 3-го порядка

Для системы 3-го порядка необходимо чтобы произведение средних членов было больше произведения крайних

Частотные критерии устойчивости: (используются при высоком порядке хар. уравнения. Так как сложно определить знаки определителей Гурвица)

Сущность состоит в том что по виду частотных характеристик можно судить о устойчивости системы.

4. Частотный критерий устойчивости Михайлова. Следствие из него (критерий чередуемости корней).

Частотный критерий устойчивости Михайлова

При изменении конец вектора Михайлова будет вычерчивать кривую, которую назовем Годографом Михайлова

По поведению Годографа можно судить об устойчивости замкнутой АС.

Необходимое и достаточное условие устойчивости по Михайлову: Для устйочивости замкнутой АС необходимо и достаточно чтобы при изменении Годограф:

-начинался на положительной вещественной оси( на оси х справа от нуля)

-изменялся в положительном направлении( против часовой стрелки)

-охватывать n- квадратов ( где n-порядок хар. уравнения- max степень в уравнении)

-уходить в бесконечность в n-м квадрате.

Годографы Михайлова для устойчивой замкнутой АС.	Годографы Михайлова для неустойчивой замкнутой АС.

Следствие из Критерия Михайлова:

1. К ритерий чередуемости корней

Обозначим точки пересечения с осями через омега.

Частоты являются корнями вещественной и мнимой частей годографа михайлова

Для устойчивости замкнутой АС необходимо и достаточно чтобы корни вещественной и мнимой частей годографа чередовались

5. Частотный критерий устойчивости Найквиста в случае устойчивой разомкнутой ас.

П ри исследовании устойчивости считается по известной передаточной функции разомкнутой АС. Заменяем S на j и тем самым получаем комплексную передаточную функцию (КПФ) . При изменении вектор КПФ будет вычерчивать кривую – годограф КПФ. По виду этой кривой для разомкнутой АС можно судить о устойчивости замкнутой АС.

Существует 3 случая исследования устойчивости по Найквисту:

1 случай: Разомкнутая АС устойчива

2 случай: Разомкнутая АС нейтрально устойчива (находится на границе устойчивости) и имеет в своем составе интегрирующих звеньев.

3 случай: Разомкнутая АС неустойчива и имеет m правых полюсов ( m корней характеристического уравнения с положительными вещественными частями.

1 случай: Для устойчивости замкнутой АС. В случае устойчивой разомкнутой АС необходимо и достаточно, чтобы при изменении Годограф КПФ разомкнутой АС (АФХ разомкнутой АС) не должен охватывать критическую точку..

-штриховая линия на рис.