Пример. Новый президент банка должен назначить двух новых вице-президентов из числа десяти директоров. Сколько способов существует у президента, если:

а) один из вице-президентов (первый) выше другого по должности;

б) вице-президенты по должности равны между собой.

Решение.

Первый способ.

а) Первого вице-президента можно выбрать из n₁=10 претендентов, при этом на пост второго вице-президента будут претендовать n₂=9 оставшихся директоров. Поэтому, согласно правилу произведения, у нового президента банка есть способов назначения двух вице-президентов, один из которых подчиняется другому, из числа десяти директоров.

б) Пусть первое действие заключается в том, что президент отбирает двух человек на должности вице-президентов, а второе действие — в том, что президент говорит отобранным людям, кто из них является первым вице-президентом, а кто — вторым. Пусть первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие, очевидно, можно выполнить n₂ способами, и по правилу произведения число способов назначения двух вице-президентов, один из которых подчиняется другому, из числа десяти директоров составляет . С другой стороны, в пункте а) мы нашли это число, и оно оказалось равным 90, поэтому .

Второй способ.

а) Число способов выбора двух кандидатов на две различные должности из десяти претендентов описывается числом размещений из 10 элементов по 2, т.е. А²₁₀=90.

б) Число способов выбора двух кандидатов на две одинаковые должности из десяти претендентов описывается числом сочетаний из 10 элементов по 2, т.е. С²₁₀=45.

Элементы теории вероятностей

§ 1. Предмет теории вероятностей

При однородных массовых операциях как-то: многократная стрельба, массовое производство деталей, бросание монеты и тому подобное, показателем выполнения интересующего нас события является доля или процент его осуществления от всего числа операций. Так, если стрелок при определенных условиях стрельбы попадает в цель 73 раза из 100, то говорят, что процент попадания равен 73%, то есть в сотне выстрелов у стрелка бывает 73 удачных. В теории вероятностей эта характеристика имеет определенную числовую меру - этой мерой является вероятность. Очевидно, что чем больше вероятность, тем чаще наступают события и наоборот.

Случайное явление (событие) можно иногда охарактеризовать частостью. Назовем относительной частотой (частостью) какого либо события отношение числа появления этого события к числу всех произведенных испытаний, в каждом из которых при одинаковых условиях событие могло наступить или не наступить. Примерами частости могут служить: доля родившихся за год мальчиков, удельный вес нестандартных деталей в партии и т.п. Если частость случайного явления в сериях из большого числа испытаний почти постоянна, то есть колеблется незначительно около некоторой постоянной величины, то этому явлению присуща устойчивость частости. Например, статистика показывает, что рождаемость мальчиков обладает этим свойством. Случайные события или явления с устойчивой частостью широко распространены в физике, экономике, биологии, машиностроении и других отраслях науки.

Таким образом, теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) с устойчивой частостью и выявляются закономерности при массовом их повторении.