Сводная таблица характеристик законов распределения дискретных случайных величин

Название закона распределения	Краткое обозначение закона	Обозначение случайной величины, механизм её формирования и обозначения параметров закона	Формула закона распределения	Выражение математического ожидания и дисперсии через параметры закона
альтерна-тивный		X=1 означает успех в единичном испытании (с вероятностью p), X=0 – неудачу (с вероятностью (1-p))	P(X=1)=p, P(X=0)=g=1-p	M[X]=p, D[X]= =p(1-p)
биноми- альный		X=N— число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью p успеха в единичном испытании		M[X]=np, D[X]=np(1-p)
геометри- ческий		X=m — число испытаний Бернулли, которые придётся произвести до первого успеха		M[X]=1/p, D[X]=(1-p)/p2
Пуассона		1. X=k — число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью p успеха в единичном испытании, когда n велико (несколько десятков или более), а λ=np<10.		M[X]=D[X]=1
		2. X — число наступлений события простейшего потока с интенсивностью λ за время t		M[X]=D[X]= =mt

Сводная таблица характеристик законов распределения непрерывных случайных величин

Название закона распределения	Краткое обозначение закона	Обозначение случайной величины, механизм её формирования и обозначения параметров закона	Функция и плотность распределения	Выражение математического ожидания и дисперсии через параметры закона
равно-мерный		X — случайная величина, принимающая значения только из некоторого отрезка [a;b], причём с содержательной точки зрения все значения внутри этого отрезка одинаково возможны		, = , .
показа- тельный (экспонен- циальный)		X — интервал времени между двумя последовательными наступлениями события в простейшем потоке с интенсивностью λ	f(x)= F(x)=	M[X]= , D[X]= , σ[X]=
нормаль-ный		где – большое число независимых в совокупности случайных величин, воздействие каждой из которых на равномерно незначительно и равновероятно по знаку (согласно центральной предельной теореме)	F(x)=	M[X]=a, D[X]=σ2, σ[X]= σ
логнормальный			f(x)= , F(x)=	M[X]=a , D[X]= =a
«Хи квад-рат» с n степенями свободы		где — независимые в совокупности случайные величины	при n≤30 значения , соответствующие вероятности , приведены в таблице, при	M( )=n, D( )=2n
Стью-дента с n степенями свободы		, где N(0;1) и — независимые случайные величины	При n≤30 значения , соответствующие вероятности , приведены в таблице, при	M( )=0, D( )=n/(n-2)
Фишера с и степенями свободы		, где и — независимые случайные величины	значения , соответствующие вероятности , приведены в таблице

Обратим особое внимание на нормально распределенные случайные величины.

В 1718 в Лондоне вышла в свет книга французского математика А.Муавра (1667-1754) «Учение о случаях». Он открыл закономерность, которая часто наблюдается в случайных явлениях, теоретически обосновал роль «нормального» распределения. А.Муавр измерил рост у 1375 случайно выбранных женщин. Колоколообразная кривая (см. рисунок 3.1), которая приближенно «накрывает» диаграмму распределения роста, близка к графику функции

,

где

Рис. 3.1. Распределение показателя роста

В общем случае для нормального закона , где . Дисперсия же вычисляется по формуле .

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону

.

Найти P(-3<X<3).

Решение. По свойству функции распределения имеем

P(-3<X<3)=F(3)-F(-3)=

= .

Этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях, его численное значение находится по таблицам (см.приложение).

Так как

,

то следует

,

где a и  – параметры нормального закона.

Таким образом, для данного примера получаем:

Закон нормального распределения имеет важное практическое значение. Множество величин на практике имеют нормальное распределение. Например, распределение приращений индексов развитых стран, курсы акций, распределение веса новорожденных, скорости газовых молекул и т.д. Для этих величин характерным является то, что на их формирование влияет большое число факторов, причем влияние каждого из них мало и ни один фактор не имеет значительного преимущества перед другими.

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм. Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины :

.

Если принять  = 3, то по таблицам значений функции Лапласа находим, что

.

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину большую, чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю. Не практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

_{Замечание. Выбор числа 3 здесь условен и никак не обосновывается: можно было выбрать 2,8, 2,9 или 3,2 и получить тот же вероятностный результат. Учитывая, что Ф(2)=0,477, можно было бы говорить и о правиле двух сигм.}

Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а = 65 т и средним квадратичным отклонением  = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

Решение. Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (10065 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т.

Т.к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.

Получаем:

.

На практике для проверки распределения на нормальность обычно используют анализ гистограммы, нормальные вероятностные графики или численные методы оценки коэффициентов асимметрии и эксцесса; критерий Пирсона (χ-квадрат). Эти методы будут рассмотрены далее.