5.2.2.Разностные формулы для частных производных
Разностные формулы для частных производных аналогичны формулам (5.1) — (5.3), (5.10).
Пусть функция двух переменных
определена в прямоугольной области a1
≤ x ≤ b1,
a2 ≤ y
≤ b2.
Определение 5.4. Назовем сеточной областью множество точек (xi, yj), где
xi = a1 + ih1, i = 0, 1, …, n1; h1 = (b1 – a1)/n1,
yj = a2 + jh2, j = 0, 1, …, n2; h2 = (b2 – a2)/n2.
На рис. 5.3 изображена сеточная область для n1 = 5, n2 = 4. Эта сеточная область состоит из 30 точек.
Рис. 5.3
Введем обозначение ui, j = f(xi, yj).
Тогда для частных производных первого и второго порядка по переменной x можно записать разностные формулы (5.1) — (5.3) и (5.10):
.
(5.12)
.
(5.13)
.
(5.14)
.
(5.15)
Аналогичные разностные формулы можно записать и для частных производных первого и второго порядка по переменной y:
.
(5.16)
.
(5.17)
.
(5.18)
.
(5.19)
Запишем разностные формулы для смешанных производных:
(5.20)
(5.21)
(5.22)
Пример 5.3. Вычислить приближенно
частную производную
функции
по её табличным значениям в сеточной
области (xi,
yj),
где xi
= 0,1∙ i, i
= 0, 1, …, 10; yj
= 0,2∙j, j
= 0, 1, …, 10. Сравнить полученные приближенные
значения производных с точными значениями.
Решение в Excel. Таблица значений функции приведена в таблице 5.4.
Табл.5.4
x y |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,2 |
0 |
0,000 |
0,000 |
0,001 |
0,001 |
0,002 |
0,003 |
0,004 |
0,005 |
0,006 |
0,008 |
0,4 |
0 |
0,001 |
0,003 |
0,006 |
0,010 |
0,016 |
0,023 |
0,031 |
0,041 |
0,052 |
0,064 |
0,6 |
0 |
0,002 |
0,009 |
0,019 |
0,035 |
0,054 |
0,078 |
0,106 |
0,138 |
0,175 |
0,216 |
0,8 |
0 |
0,005 |
0,020 |
0,046 |
0,082 |
0,128 |
0,184 |
0,251 |
0,328 |
0,415 |
0,512 |
1 |
0 |
0,010 |
0,040 |
0,090 |
0,160 |
0,250 |
0,360 |
0,490 |
0,640 |
0,810 |
1,000 |
1,2 |
0 |
0,017 |
0,069 |
0,156 |
0,276 |
0,432 |
0,622 |
0,847 |
1,106 |
1,400 |
1,728 |
1,4 |
0 |
0,027 |
0,110 |
0,247 |
0,439 |
0,686 |
0,988 |
1,345 |
1,756 |
2,223 |
2,744 |
1,6 |
0 |
0,041 |
0,164 |
0,369 |
0,655 |
1,024 |
1,475 |
2,007 |
2,621 |
3,318 |
4,096 |
1,8 |
0 |
0,058 |
0,233 |
0,525 |
0,933 |
1,458 |
2,100 |
2,858 |
3,732 |
4,724 |
5,832 |
2 |
0 |
0,080 |
0,320 |
0,720 |
1,280 |
2,000 |
2,880 |
3,920 |
5,120 |
6,480 |
8,000 |
Табл.5.5
Таблица приближенных значений производной,
вычисленных по формуле (5.22)
x y |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,2 |
0,032 |
0,064 |
0,096 |
0,128 |
0,16 |
0,192 |
0,224 |
0,256 |
0,288 |
0,4 |
0,104 |
0,208 |
0,312 |
0,416 |
0,52 |
0,624 |
0,728 |
0,832 |
0,936 |
0,6 |
0,224 |
0,448 |
0,672 |
0,896 |
1,12 |
1,344 |
1,568 |
1,792 |
2,016 |
0,8 |
0,392 |
0,784 |
1,176 |
1,568 |
1,96 |
2,352 |
2,744 |
3,136 |
3,528 |
1 |
0,608 |
1,216 |
1,824 |
2,432 |
3,04 |
3,648 |
4,256 |
4,864 |
5,472 |
1,2 |
0,872 |
1,744 |
2,616 |
3,488 |
4,36 |
5,232 |
6,104 |
6,976 |
7,848 |
1,4 |
1,184 |
2,368 |
3,552 |
4,736 |
5,92 |
7,104 |
8,288 |
9,472 |
10,656 |
1,6 |
1,544 |
3,088 |
4,632 |
6,176 |
7,72 |
9,264 |
10,808 |
12,352 |
13,896 |
1,8 |
1,952 |
3,904 |
5,856 |
7,808 |
9,76 |
11,712 |
13,664 |
15,616 |
17,568 |
Табл.5.6
Таблица производной
x y |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,2 |
0,024 |
0,048 |
0,072 |
0,096 |
0,12 |
0,144 |
0,168 |
0,192 |
0,216 |
0,4 |
0,096 |
0,192 |
0,288 |
0,384 |
0,48 |
0,576 |
0,672 |
0,768 |
0,864 |
0,6 |
0,216 |
0,432 |
0,648 |
0,864 |
1,08 |
1,296 |
1,512 |
1,728 |
1,944 |
0,8 |
0,384 |
0,768 |
1,152 |
1,536 |
1,92 |
2,304 |
2,688 |
3,072 |
3,456 |
1 |
0,6 |
1,2 |
1,8 |
2,4 |
3 |
3,6 |
4,2 |
4,8 |
5,4 |
1,2 |
0,864 |
1,728 |
2,592 |
3,456 |
4,32 |
5,184 |
6,048 |
6,912 |
7,776 |
1,4 |
1,176 |
2,352 |
3,528 |
4,704 |
5,88 |
7,056 |
8,232 |
9,408 |
10,584 |
1,6 |
1,536 |
3,072 |
4,608 |
6,144 |
7,68 |
9,216 |
10,752 |
12,288 |
13,824 |
1,8 |
1,944 |
3,888 |
5,832 |
7,776 |
9,72 |
11,664 |
13,608 |
15,552 |
17,496 |
Вычислим относительную погрешность в точке (x, y) = (0,5; 1):
