5.3.2.Неравномерное распределение узлов

Пусть известны значения y_i функции в узлах x_i:

x₀ < x₁ < x₂ < … < x_{n – 1} < x_n.

В этом случае для вычисления производных используют интерполяционный многочлен. Предположим, что точка x расположена ближе к начальному узлу x₀, тогда мы можем применить первый интерполяционный многочлен Ньютона

Здесь использованы обозначения для разделенных разностей:

Обозначим через ξ_i разность (x – x_i) и запишем многочлен Ньютона в виде

(5.37)

Теперь можем вывести формулы для производных:

(5.38)

Оставляя в (5.38) несколько слагаемых, получим формулы для приближенного вычисления производных. При этом порядок погрешности по отношению к шагу разбиения h равен числу оставленных членов, или разности между числом узлов интерполяции и порядком производной [9].

Приведем некоторые простые формулы (h = max h_i):

1. Первая производная по двум точкам:

(5.39)

Первая производная по трем точкам:

(5.40)

2. Вторая производная по трем точкам:

(5.41)

Вторая производная по четырем точкам:

(5.42)

3. Третья производная по четырем точкам:

(5.43)

Пример 5.5. Вычислить производную второго порядка функции y = sin πx в точке x = 0,4, пользуясь таблицей значений (см. табл.5.8).

Решение в Excel. Воспользуемся формулами (5.41) и (5.42).

Для формулы (5.41) необходимы только три точки. Создадим в программе Excel макрос — функцию для вычисления производной по формуле (5.41).

Для этого выберем меню «Сервис — Макрос — Редактор Visual Basic» и в открывшемся окне выполним команду «Insert — Module», затем введем:

Function pr_541(x0, x1, x2, y0, y1, y2)

pr_541 = 2 * ((y0 - y1) / (x0 - x1) - (y1 - y2) / (x1 - x2)) / (x0 - x2)

End Function

Перейдем в Excel и в ячейке D4 запишем формулу =pr_541(B2;B3;B4;C2;C3;C4), и скопируем D4 в D5, D6.

Таблица 5.8

	A	B	C	D
1	i	xi	yi
2	0	0	0
3	1	0,1	0,309017
4	2	0,3	0,809017	-3,93447
5	3	0,5	1	-7,72542
6	4	0,6	0,951057	-9,629

Наиболее точно вторую производную приближает значение в D6. Это объясняется тем, что в формуле, записанной в D6 «=pr_541(B4;B5;B6;C4;C5;C6)» точка x = 0,4 близка к начальному узлу x₀ =0,3.

5.4.Практическая оценка погрешности. Метод Рунге-Ромберга

Рассмотрим метод Рунге для повышения порядка точности формул для вычисления производных на примере формулы (5.11):

. (5.44)

Предполагая, что функция четырежды дифференцируема, погрешность разностной формулы для второй производной можно представить в виде

. (5.45)

Вычислим по формуле (5.44) вторую производную в той же точке x_i, но используя сетку с шагом 2h:

. (5.46)

Погрешность формулы (5.46) имеет вид:

. (5.47)

Вычитая (5.45) из (5.47), получим

. (5.41)

Отсюда для погрешности получим первую формулу Рунге:

(5.42)

Теперь вторую производную в точке x_i можно вычислить по уточненной формуле (второй формуле Рунге):

. (5.43)

Пример 5.6. Вычислить производную второго порядка функции y = sin πx в точке x = 0,4 по второй формуле Рунге, используя разностные формулы с шагом 0,1 и 0,2.

Решение. Воспользуемся приближенными значениями второй производной, найденными с помощью разностных формул в примере 5.2:

Очевидно, что полученное значение более точно приближает вторую производную, чем разностная формула с шагом 0,1 или 0,2.

Пример 5.7. Вычислить производную функции y = sin πx в точке x = 0,574 с точностью 0,01.

Решение. Создадим в программе Excel макрос — функцию для вычисления производной функции f(x) в произвольной точке x с заданной точностью ε при помощи формулы (5.34):

(5.44)

Для оценки погрешности будем использовать правило Рунге. Шаг h будет подбираться автоматически так, чтобы выполнялось условие

. (5.45)

Значение производной будем вычислять по уточненной формуле

(5.46)

Выберем меню «Сервис — Макрос — Редактор Visual Basic», в открывшемся окне выполним команду «Insert — Module», и введем описания функций:

Function f(ByVal x)

f = Sin(3.1415926 * x)

End Function

Function f_deriv(ByVal x, ByVal eps)

h = 0.1

errd = 1

h2 = h * 2

d = (f(x + h) - f(x - h)) / h2

While Abs(errd) > eps

h2 = h

h = h / 2

d2 = d

d = (f(x + h) - f(x - h)) / h2

errd = (d - d2) / 3

Wend

f_deriv = d + errd

End Function

В таблице 5.10 приведены результаты расчетов. Поясним заполнение таблицы. В ячейках B2, C2, D2 и E2 соответственно введем формулы, как показано в табл. 5.9.

Таблица 5.9

	A	B	C	D	E
1	x	sin(π*x)	π*cos(π*x)	f_deriv(x; 0,01)	Погрешность
2	0	=f(A2)	=ПИ()*COS(ПИ()*A2)	=f_deriv(A2;0,01)	=ABS(C2-D2)

Выделим диапазон A2:E2 и маркером заполнения протягиваем эти ячейки до строки 12.

Заполняем столбец A2:A12, как в табл. 5.10.

Таблица 5.10

	A	B	C	D	E
1	x	sin(π*x)	π*cos(π*x)	f_deriv(x; 0,01)	Погрешность
2	0,00	0	3,1415926	3,141588618	3,98171E-06
3	0,10	0,309016989	2,987832119	2,987828332	3,78683E-06
4	0,20	0,587785244	2,541601823	2,541598601	3,22127E-06
5	0,30	0,809016985	1,84658184	1,846544476	3,73638E-05
6	0,40	0,95105651	0,970805567	0,970785924	1,96433E-05
7	0,50	1	8,41786E-08	8,41769E-08	1,70305E-12
8	0,60	0,951056526	-0,970805407	-0,970785763	1,96433E-05
9	0,70	0,809017016	-1,846581704	-1,84654434	3,73638E-05
10	0,80	0,587785287	-2,541601724	-2,541598502	3,22127E-06
11	0,90	0,30901704	-2,987832067	-2,98782828	3,78683E-06
12	1,00	5,35898E-08	-3,1415926	-3,141588618	3,98171E-06

Замечание. Погрешность в столбце E получилась намного меньше, чем 0,01 из-за того, что вместо формулы (5.44) использовали уточненную формулу (5.46).

Задачи для самостоятельного решения

1. Записать формулы для следующих разностных производных

2. Оценить погрешность разностных формул для смешанных производных (5.20) — (5.22).

3. Вычислить приближенные значения производных первого порядка для функции, заданной таблично (табл.5.9):

Таблица 5.9

xi	Варианты значений yi
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	-0,4	-6,0	-0,8	-0,5	1,9	-1,8	-6,7	1,0	-3,0	0,0	1,0	-3,0	0,0	1,0	-3,0
0,1	0,2	-5,1	-0,6	-0,3	0,7	0,6	-5,2	1,0	-2,7	0,1	0,5	-1,5	0,5	1,0	-2,7
0,2	0,7	-4,2	-0,4	-0,2	-1,8	-1,5	-3,1	0,9	-2,4	0,2	-0,4	0,0	0,8	0,9	-2,4
0,3	1,0	-3,3	-0,1	0,0	-1,0	0,3	-0,8	0,8	-2,1	0,3	-1,0	1,5	1,0	0,8	-2,1
0,4	0,9	-2,4	0,2	0,1	1,7	-1,1	1,6	0,7	-1,8	0,4	-0,7	3,0	0,9	0,7	-1,8
0,5	0,5	-1,5	0,5	0,2	1,2	-0,1	3,8	0,5	-1,5	0,5	0,3	4,5	0,6	0,5	-1,5
0,6	0,0	-0,6	0,7	0,4	-1,5	-0,7	5,7	0,4	-1,2	0,6	1,0	6,0	0,1	0,4	-1,2
0,7	-0,6	0,3	0,9	0,5	-1,4	-0,5	7,1	0,2	-0,9	0,6	0,8	7,5	-0,4	0,2	-0,9
0,8	-0,9	1,2	1,0	0,6	1,3	-0,3	7,9	0,0	-0,6	0,7	-0,1	9,0	-0,8	0,0	-0,6
0,9	-1,0	2,1	1,0	0,8	1,6	-0,9	7,9	-0,2	-0,3	0,8	-0,9	10,5	-1,0	-0,2	-0,3
1,0	-0,7	3,0	0,9	0,8	-1,1	0,1	7,3	-0,4	0,0	0,8	-0,8	12,0	-1,0	-0,4	0,0

4. Для функции u(x, y), заданной в прямоугольной области ,

а) вычислить таблицу значений на сетке с шагом h_x по переменной x, h_y — по переменной y;

б) найти с помощью разностных формул указанные частные производные. Результаты сравнить с точными значениями производной.

Табл.5.10

№	Функция	[a, b]	hx	[c, d]	hy	Вычислить
1		[0, 1]	0,1	[0, 2]	0,2
2		[0, 1]	0,2	[0, 1]	0,1
3		[0, 1]	0,1	[0, 2]	0,2
4		[0, 1]	0,1	[0, 2]	0,2
5		[0, 1]	0,1	[0, 2]	0,2
6		[0, 1]	0,1	[0,1]	0,2
7	exy	[0, 1]	0,2	[0, 2]	0,1
8	ex+y	[0, 1]	0,1	[0, 1]	0,2
9	ln(1 + xy)	[0, 1]	0,2	[0, 2]	0,1
10		[0, 1]	0,1	[0, 1]	0,2
11		[0, 1]	0,2	[0, 2]	0,1
12		[0, 1]	0,1	[0, 1]	0,2
13		[0, 1]	0,2	[0, 2]	0,1
14		[0, 1]	0,1	[0, 1]	0,2
15		[0, 1]	0,2	[0, 2]	0,1
16		[0, 1]	0,1	[0, 1]	0,2
17		[0, 1]	0,2	[0, 2]	0,1
18		[0, 1]	0,1	[0, 1]	0,2
19		[0, 1]	0,2	[0, 2]	0,1
20		[0, 1]	0,1	[0, 1]	0,2

5. Вычислить первую и вторую производные в узлах интерполяции для таблично заданной функции.

Табл.5.11

xi	Варианты значений yi
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	-0,4	-6,0	-0,8	-0,5	1,9	-1,8	-6,7	1,0	-3,0	0,0	1,0	-3,0	0,0	1,0	-3,0
0,1	0,2	-5,1	-0,6	-0,3	0,7	0,6	-5,2	1,0	-2,7	0,1	0,5	-1,5	0,5	1,0	-2,7
0,3	0,7	-4,2	-0,4	-0,2	-1,8	-1,5	-3,1	0,9	-2,4	0,2	-0,4	0,0	0,8	0,9	-2,4
0,5	1,0	-3,3	-0,1	0,0	-1,0	0,3	-0,8	0,8	-2,1	0,3	-1,0	1,5	1,0	0,8	-2,1
0,8	0,9	-2,4	0,2	0,1	1,7	-1,1	1,6	0,7	-1,8	0,4	-0,7	3,0	0,9	0,7	-1,8
1,0	0,5	-1,5	0,5	0,2	1,2	-0,1	3,8	0,5	-1,5	0,5	0,3	4,5	0,6	0,5	-1,5