Приклади розв’язання задач з теорії ймовірностей до теми № 1.
Задача № 1.1.
Яка ймовірність того, що при одному киданні грального кубика випаде число очок кратне 3 ?
Рішення:
Нехай подія А – „випало число очок
кратне 3”. Може бути шість випадків
загального числа подій ( випаде 1,2,3,4,5,6
). Та з них тільки два сприяють події
А, коли випаде 3 або 6 очок. n= 6; m
=
2.
Р(А) =
; Р(А) =
.
Задача № 1.2.
Для контролю якості продукції заводу з кожної партїї готових деталей беруть 100. Перевірку не витримують у середньому 10 деталей. Яка ймовірність того, що навмання взята деталь не буде бракованою?
Рішення: Нехай А – подія , яка полягає в тому, що взята деталь не буде бракованою. За умовою задачі ця подія відбувається в середньому 90 разів у кожній партії зі 100 деталей. Тому її відносна частота дорівнює 0,9. Отже за статистичним означенням імовірності
Р(А)=
=
=
0,9.
Задача № 1.3.
В урну поклали 3 червоних, 8 чорних і 9 синіх куль. Яка ймовірність вийняти червону, чорну, синю кулю?
Рішення:
п
=3+8+ 9 =20. Тут маємо 3 події: А– вийняли
червону кулю, В–чорну кулю, С – вийняли
синю кулю. Р(А)=
;
Р(В)=
;
Р(С) =
.
Задача № 1.4.
З урни, в якій мітиться 5 куль, серед яких 2 чорні й 3 білі, навмання взято 2 кулі. Визначити ймовірність того, що обидві взяті кулі чорні.
Рішення:
Число можливих елементарних подій n
–це
число
=10
(вибір без упорядкування 2 куль із 5).
Оскільки в урні всього 2 чорні кулі, то
число m
елементарних
подій, які сприяють події А, m
=
=1.
Тому Р(А)=
.
Задача № 1.5.
Електронний пристрій складається з 5 елементів і функціонує нормально, якщо справні всі елементи. При складанні елементи пристрою вибираються з партії 1000 елементів. У партії 50 несправних елементів. Знайти ймовірність того, що пристрій працює справно.
Рішення:
Нехай подія А – це подія, ознакою якої
є – пристрій працює справно.
- загальне число елементарних подій
(способи вибору 5 елементів з 1000). Число
сприятливих для події А елементарних
подій -
.
Отже, Р(А) =
.
Задача № 1.6.
В урні лежать 20 кульок, з яких 12 білих , решта – чорні. З урни навмання виймають 3 кульки. Яка ймовірність того, що серед вибраних кульок 2 кульки були білі ?
Рішення: Загальна кількість елементарних подій випробування (вийнято 3 кульки ) дорівнює
n
=
.
Дві білі кульки із 12 білих кульок можна
вибрати
способами, а одну чорну кульку можна
вибрати 8 способами:
= 8. Подія А – „серед 3 вибраних кульок
2 білі”, то
Р(А)
=
.
Задача № 1.7.
9 пасажирів сідають у 3 вагони. Знайдіть ймовірність того, що:
а) у кожний вагон сяде по три пасажири; б) в один з вагонів сядуть 4, у другий – 3 і в третій – 2 пасажири.
Рішення: а) Загальна кількість елементарних подій випробування дорівнює n = 39
(дивись приклад 1).
способами
можна розташувати 3 пасажирів у першому
вагоні,
способами
можна розташувати 3 пасажирів у другому
вагоні, а троє останніх пасажира можуть
сісти у вагон 1 способом
,
зазначимо, що
=1.
Отже, число сприятливих подій
m
=
.
Якщо подія А – в кожний вагон сяде по 3 пасажира, то маємо:
а) Р
(А) =
=
.
б)
Р(В) =
.
Задача № 1.8.
У шаховому турнірі беруть участь 20 чоловік, які жеребкуванням розподіляються на 2 групи по 10 чоловік. Знайдіть ймовірність того, що 4 найсильніших гравці потраплять по двоє в різні групи.
Рішення:
Загальна кількість елементарних подій
випробування / розподіл на 2 групи по 10
чоловік/ дорівнює n
=
.
Два гравця із 4 найсильніших можна
вибрати
способами, а 8 слабкіших гравців можна
вибрати
способами.
Отже, якщо подія А – „4 найсильніших гравці потраплять по 2 в різні групи”, то
;
;
;
Р(А)=
.
Тема № 2 : Операції над подіями. Теореми про ймовірність суми та добутку подій. Формула повної ймовірності. Формула Бейєса ( формула гіпотез).
Основні уявлення та формули: