• Основні уявлення та формули:

3.1. Повторення випробувань. Схема Бернуллі .

Повторні незалежні випробування стохастичного експерименту називають схемою Бернуллі, якщо при кожному випробуванні можливі лише два наслідки: подія А ( успіх ) або Ā ( невдача ) і ймовірність появи події А при кожному випробуванні дорівнює р. ( 0 < р < 1). Ймовірність „успіху ”позначатимемо – р; „ невдачі” – q . Згідно рівняння р + q = 1 ; q = 1 – р.

Тh: Нехай Р_n(k) – імовірність того, що в схемі Бернуллі при п випробуваннях k разів відбулася подія А .

Р _n(k) = C_n^k p ^k q ^{n – k} = C_n^k p ^k (1 – p ) ^{n – k} . де ( k = 0;1;2;...; п)

Ймовірність появи події А k разів в n випробуваннях, якщо ймовірність появи А в одному випробуванні – р, не появи – q.

Якщо = , то формула Бернуллі

Р_n(k) = C_n^k p ^k q ^{n – k} = р ^kq ^{n – k} .

На практиці іноді треба знати, яке число подій буде найімовірнішим, тобто при якому k₀ ймовірність Р_n(k) найбільша.

Найімовірніше число появи події k₀ знаходиться між числами

.

Незважаючи на компактність формули Бернуллі, безпосереднє обчислення Р_n(k) за нею при великих n пов’язане зі значними труднощами. Наприклад, для визначення ймовірності Р₁₀₀(50) потрібно здійснити понад 200 арифметичних операцій.

У таких випадках для спрощення обчислень користуються граничними теоремами ( Муавра – Лапласа, Пуассона ), які дають формули для наближеного обчислення Р_n( k ) с достатньою точністю.

3.1. Теорема Пуассона.

У випадках, коли p досить мале ( рідкісні події ), для наближеного обчислення Р_n(k) використовують граничну теорему Пуассона.

Тh Пуассона:

Якщо проводяться випробування Бернуллі при , а , але np = λ, то ймовірність появи k разів події А, що з’являється в окремому випробуванні з ймовірністю p, прямує до ^.

Практично Тh Пуассона застосовується для таких випробувань за схемою Бернуллі, в яких р мале ( р< 0,1), а n достатньо велике ( n > 50 ) і npq<9. Застосовується у вигляді наближеної рівності:

Формула Пуассона .

3.3. Локальна теорема Муавра – Лапласа.

Локальна теорема Муавра – Лапласа дає змогу оцінити окремі ймовірності та їхню поведінку як функцію k при великих n (в випробуваннях n подія А відбудеться k разів ).

; де - функція Гауса; ;

φ( - х ) = φ (х) – функція парна; φ ( х > 4 ) .

Для цієї функції складена таблиця № 1 значень функції φ (х) (дивись додаток в кінці методичних вказівок) .

Дослідження локальної формули Муавра – Лапласа показують, що вона дає досить добрі наближення лише при достатньо великих n, крім того, р не повинно бути дуже близьким до 0 або 1 , а nрq 9.

3. 4. Інтегральна теорема Муавра – Лапласа.

Дає змогу оцінити ймовірність того, що в n випробуваннях подія А відбудеться не менше ніж k₁ разів, але не більш як k₂ разів :

Р_n( k₁, k₂ ) = Ф ( х₁ ) – Ф( х₂ ).

Інтегральна функція Лапласа: Ф ( х ) =

; .

Для цієї функції складена, як і для локальної, таблиця № 2 додатку приблизних значень функції . Функція Ф(х) – непарна. Ф(– х ) = – Ф(х ) . В таблиці Ф( х > 5 ) .