2.3. Расчет цепей постоянного тока

К ак было отмечено в предыдущих разделах, в цепи постоянного тока ветви, содержащие конденсаторы, разомкнуты, а катушки индуктивности – короткозамкнуты, следовательно цепи постоянного тока состоят из источников энергии и резисторов.

Рассчитать электрическую цепь – означает определить токи во всех ветвях цепи и напряжения на всех элементах.

Все методы расчета основываются на двух физических законах – законах Кирхгофа.

2.3.1. Методы расчета электрических цепей.

Рассмотрим следующие методы расчета:

• метод токов ветвей (метод уравнений Кирхгофа);

• метод контурных токов;

• метод узловых напряжений.

Кроме того, в данном разделе сформулируем некоторые теоремы, которые облегчают расчеты электрических цепей.

2.3.2. Расчет токов и напряжений в параллельно-последовательных цепях.

При расчете электрических цепей полезно следующее правило: если цепь содержит единственный источник энергии, расчет проще всего проводить путем преобразования сопротивлений. Поэтому прежде, чем приступить к расчету сложных электрических цепей, проведем анализ схемы рис.2.26. Цепь содержит три ветви: E,R₁; R₂; R₃; и два узла: a; b. Обозначим токи в ветвях: I₁, I₂, I₃ и произвольно зададимся положительным направлением токов, показанными на рис. Необходимо рассчитать токи I₁, I₂, I₃, для чего используем эквивалентные преобразования сопротивлений.

Резисторы R₂ и R₃ подключены к одним и тем же узлам, находятся под одним и тем же напряжением, т.е. включены параллельно. Можно найти эквивалентное сопротивление а цепь приобретает вид, показанный на рис. б. Элементы R₁ и R_Э23 схемы включены последовательно, т.к. через них проходит один и тот же ток I₁, и могут быть заменены одним сопротивлением R_Э123 = R₁ + R_Э23. Схема приобретает вид – рис. в.

По 2-му закону Кирхгофа записываем

E = I₁ · R_Э123 , откуда,

.

Возвращаясь к рис. б, можно видеть, что напряжение между узлами a – b находится как

Токи I₂ и I₃ в ветвях по закону Ома равны

или

Т ок в ветви равен току в неразветвленной части цепи, умноженному на дробь, в знаменателе которой – сумма сопротивлений двух параллельных ветвей, а в числителе – сопротивление противоположной ветви.

2.3.3. Число независимых уравнений, составляемых по 1-му закону Кирхгофа

Рассмотрим схему рис.. Для нее заданы все ЭДС и величины сопротивлений. Определим число независимых уравнений, которые можно составить для этой схемы по 1-му закону Кирхгофа.

Зададимся произвольно положительным направлением тока в каждой ветви – рис. 2.27. (I₁ - I₆). Цепь содержит три узла: 1, 2, 3. Для каждого из них составим уравнение по 1-му закону Кирхгофа, принимая токи, направленные к узлу, положительными, а направленные от узла – отрицательными.

1 узел : I3 + I4 + I5 - I6 = 0 (а) 2 узел : I1 + I2 - I3 - I4 = 0 (б) 3 узел : I6 - I1 - I2 - I5 = 0 (в).

Легко видеть, что, если сложить уравнение (а) и (б) и умножить на (-1), получиться уравнение (в) для третьего узла. Следовательно, два уравнения для этой схемы являются независимыми, а третье – зависимое, так как может быть получено из двух предыдущих. Можно убедиться, что для любой схемы, содержащей n_у узлов, можно составить N = (n_у -1) независимых уравнений по 1-му закону Кирхгофа. Выбор узлов схемы в качестве независимых – произволен, целесообразно учитывать лишь объем вычислений.