3.3.4. Число независимых уравнений, составляемых по 2-му закону Кирхгофа

Р ассмотрим схему, изображенную на рис.. Примем за положительные направления токов и напряжений, показанные на рис. 2.28.. В этой схеме можно выделить достаточно большое число замкнутых контуров. Составим уравнения по 2-му закону Кирхгофа для некоторых из них, выбрав направление обхода по часовой стрелке.

контур а– б– в– г : -E1 - E2 = U1 + U3 - U4 ; (a) контур в– д– е– г : E2 - E4 = -U2 - U5 - U3 ; (б) контур а– г– е– ж : E3 = U4 + U5 ; (в) контур а– б– д– е– ж : -E1 - E4 +E3 = U1 - U2 (г) и так далее.

Легко видеть, что сложение уравнений (а), (б) и (в) дает уравнение (г), следовательно, уравнение (г) будет зависимым.

Анализ схемы любого вида показывает, что, если схема содержит n_в ветвей и n_у узлов, то по 2-му закону Кирхгофа можно составить n_в - n_у +1 независимых уравнений. Выбор контуров в качестве независимых произволен. Для сокращения объема вычислений чаще всего уравнения составляют для элементарных контуров.

2.3.5. Метод токов ветвей.

Последовательность расчета цепи данным методом.

• определяется число ветвей цепи n_в. В каждой ветви произвольно задаемся положительным направлением тока ветви. Число неизвестных токов – n_в, для их определения требуется составить n_в уравнений;

• по 1-му закону Кирхгофа составляется (n_у - 1) независимых уравнений, где n_у – число узлов цепи;

• по 2-му закону Кирхгофа составляется (n_в - n_у + 1) независимых уравнений;

• решая полученную систему из [(n_у - 1) + (n_в - n_у + 1)] = n_в уравнений, находим n_в токов ветвей;

• используя выражение для закона Ома, определяются напряжения между любыми точками цепи.

Для цепи, показанной на рис.2.29 найдем токи ветвей и напряжение U₂₃, если R₁ = R₂ = …= R₉ = 1 кОм, E₁ = 10 B, E₈ = 5 B.

Произвольно выбранные положительные направления токов ветвей показаны на рис. 2.29. Число ветвей n_в = 6, неизвестные токи: I₁ , I₅ , I₆ , I₇ , I₈ , I₉.

Цепь содержит три узла (1, 2, 3) n_у = 3. Участок цепи, охваченный фигурной скобкой – одна электрическая точка. Так как соединительные линии на схемах не обладают ни сопротивлением, ни индуктивностью, ни емкостью, то любая точка на этом участке имеет один и тот же электрический потенциал. По 1-му закону Кирхгофа можно составить n_у - 1 = 2 независимых уравнений. Выбор узлов произволен. Составим уравнения, например для узлов 1 и 2:

узел 1 : I1 = I5 + I6 (a) узел 2 : I6 = I7 + I8 + I9 (б).

П о 2-му закону Кирхгофа число независимых уравнений равно n_в - n_у + 1 = 6-3+1=4. В качестве независимых контуров используем элементарные контуры. Направление обхода контуров – по часовой стрелке.

1 контур	R3 – E1 – R1 – R2 – R4 – R5 E1 = I1 (R1 + R2 + R4 + R3) + I5R5	(в)
2 контур	R5 – R6 – R7 0 = I6R6 + I7R7 - I5R5	(г)
3 контур	R7 – E8 – R8 E8 = I8R8 - I7R7	(д)
4 контур	R8 – E8 – R9 -E8 = I9R9 - I8R8	(e)

Уравнения (а) – (е) дают систему из шести уравнений с шестью неизвестными, решая которую, находим токи I₁ , I₅ , I₆ , I₇ , I₈ , I₉

I1 = 2,35 мА	I6 = 1,72 мА	I8 = 3,90 мА
I5 = 0,63 мА	I7 = -1,09 мА	I9 = -1,09 мА

Знак “минус” перед I₇ и I₉ свидетельствует о том, что фактические направления этих токов будут обратными.

Для 8-й ветви , откуда U₂₃ = I₈R₈ - E₈ = 1,09 В

Рассмотрение последовательности решения задач с использованием законов Кирхгофа и Ома и конкретного примера выявляет основной недостаток этого метода – большой объем расчетов, так как система уравнений содержит столько уравнений, сколько ветвей имеет схема. Существуют методы расчета, базирующиеся на физических законах Кирхгофа, но позволяющие уменьшить объем расчетов. Это методы контурных токов и узловых напряжений.