2.2. Побудова моделей за допомогою просторово-керованих функціональних генераторів та термофункціональних гіпермоделей

Підхід передбачає визначення за заданими скінченними множинами дій x(t) та реакцій системи y(t) моделі, яка дозволяє гарантувати, що при будь-яких x(t)є X(t), де X(t) – певна у загальному випадку неперервна множина сигналів, y_m(t)y(t). Розглядається клас систем з наступними властивостями:

1. Система не може самозбуджуватись, тобто при .

2. Виконуються умови: .

3. Відображення вхідних сигналів у вихідні є неперервним, тобто для

будь-якого можна вказати деяке число таке, що при , якщо

, тоді , причому , якщо .

4. Вхідні сигнали, які діють на систему, є достатньо “повільними”, тобто при кусочно-постійній апроксимації вхідного сигналу довжина кожної ступеньки повинна бути однакового порядку або більшою від тривалості перехідного процесу системи.

Нехай на систему подається дія у вигляді кусочно-постійної функції x_к.п(t). Визначивши реакцію y(t) на таку дію, можна покласти, що на достатньо великому інтервалі часу 0...t₁, де t₁ - тривалість першої ступеньки, реакція на цьому інтервалі буде прямувати до деякої постійної величини. До моменту t=t₁ у схемі встановляться певні напруги та струми, які залежать від значення амплітуди першої ступеньки a₁ і не залежать від початкових умов у схемі при t₁=0. Розглядаючи реакції системи на проміжку часу t₁...t₂ і припускаючи, що величина t₂-t₁ є достатньо великою, приходимо до висновку, що до моменту часу t=t₂ всі напруги та струми в системі встановляться і приймуть значення, які залежать від значення амплітуди другої ступеньки a₂ і не залежать від початкових умов у схемі при t=t₁. Якщо інтервали t_l+1-t_l є достатньо великими, де l₁=0,1,...,t₀=0, тоді будь-яка реакція y(t) при t_l<t<t_l+1 буде такою ж, як і відповідна реакція системи на простішу дію

a_l+1+b_l+1₁(t-t_l). (2.11)

Дія (1.11) є сумою постійної складової a_l+1 та ступенчатої дії з амплітудою b_l+1. Якщо систему протестувати сигналами

x(t)=a+b₁(t), (2.12)

змінюючи значення a та b дискретно у певних межах, отримати реакції системи y(t) і за цими даними побудувати модель, тоді на основі такої моделі можна визначати вудгук схеми на довільну дію x(t) ступенчатого виду. Нехай побудовано оператор моделі

y_m(t)=M[x(t)], (2.13)

для якого при будь-якій дії x(t) виду (2.12), де aєA, bєB, виконується співвідношення y_m(t)=y(t). Прийнявши, що оператор M - стаціонарний і визначений на множині кусочно-постійних функцій, можна стверджувати, що при будь-якій кусочно-постійній функції x(t), що має достатньо великі горизонтальні відрізки, функція y_m(t)=M[x(t)] буде приблизно співпадати з y(t). Позначимо через R оператор, що описує реакцію системи на дію x(t). Тоді для будь-якої кусково-постійної функції x(t)

R[x(t)]=M[x(t)], (2.14)

якщо

t_l+1-tT_max, l₁=0,1,... . (2.15)

Нехай x(t) - довільна неперервна при t>0 функція, яка змінюється настільки повільно, що при її апроксимації кусочно-постійною функцією похибка апроксимації при умові (2.14) є достатньо малою. Якщо M - неперервний оператор, причому M(0)=0, тоді рівність (2.14) буде виконуватись з певною точністю. Тестуючи систему скінченною кількістю найпростіших сигналів виду (2.12), можна наближено знайти реакцію системи на довільну, достатньо повільну дію.

Описаний підхід застосовується для схем з “коротким” перехідним процесом, який завершується раніше, ніж виявляють себе нелінійні властивості системи у результаті дії порівняно повільного вхідного сигналу. Однак за допомогою спеціальних прийомів практично будь-яку систему можна привести до такого вигляду, при якому апроксимацію дій з задовільною точністю можна здійснювати за допомогою кусково-лінійних функцій x_к.л(t). Методика дозволила синтезувати низку фільтрів, генератор, коректор, вимірювач часових параметрів напівпровідникових приладів та ін. пристрої.

На основі методу просторово-керованих функціональних генераторів та узагальненого принципу суперпозиції розроблено метод моделювання за допомогою гіпермоделей (відгуків) систем. Гіпермоделі будуються на основі оператора перехідної реакції. В якості функціонально-операторних структур гіпермоделі містять залежності як від часу, так і від вектора неелектричних параметрів H={h₁,h₂,..., h_r} конструктивно-технологічного та експлуатаційного характеру. Підхід застосовується для розв'язання задач проектування безгістерезисних нелінійних динамічних систем. Для цього стан системи у загальному випадку описується диференційним рівнянням

(2.16)

з початковими умовами y(0)[y₀ ,y₀ ], y'(0)[y₁ ,y₁ ],..., y (0)[y_q ,y_q ], де t0 - певний момент часу; x(t),x'(t),...,x (t) - дія та її похідні; F[...] - нелінійна аналітична функція. Клас систем обмежується такими, для яких зв'язок між x(t) та y(t) можна виразити в явній формі. У випадку лінійних систем їх функціональні властивості повністю визначаються перехідною реакцією, тому у цьому випадку явне вираження зв'язку між дією x(t) та відгуком y(t) описується лінійним операторним співвідношенням

y(t)=f{[x(),H]₀}^t, (2.17)

де f{...} - лінійна функція; - певний диференційний, інтегро-диференційий, або інтегральний оператор.

Для нелінійної системи вводиться поняття перехідної реакції у вигляді функції

y()=v(X,H,); X [X_min,X_max], (2.18)

де y() - відгук системи на ступеніату дію x()=X1() (X1() - одинична функція з амплітудою X); v() - мінімальна по  функція, що залежить від параметрів X та H, нелінійна, неперервна та однозначна відносно них. У загальному випадку для довільної дії, що описується виразом

де X_k [X_min,X_max], (x_s=x(st)-x((s-1)t), , X₀=X(0), t=t/m, гіпермодель нелінійної системи при m , td , st, mtt , X,H,)V[x(),H,] можна представити, як

. (2.19)

де V[...] - оператор перехідної реакції.

Для векторного випадку функціонально-операторні структури узагальнених гіпермоделей представляються наступним чином:

, (2.20)

де - вектор диференційних, інтегро-диференційних або інтегральних операторів; f [x(t),H,t]=0 при t<0; _s{} (s= ) - нелінійні аналітичні функції. Вираз (1.20) описує узагальнену гіпермодель нелінійної системи, представлену у вигляді (n+1)-полюсника, діями на яку x(t) можуть бути струми j(t) = {j₁(t), j₂(t),...,j_n(t)} (напруги u(t)={u₁(t),u₂(t),...,u_n(t)}), а відгуками y(t) - напруги u(t) (струми j(t)). Топологічно вирази (1.20) є гіпергенераторами _s (s= ), керованими в афінному гіперпросторі напруг u(t), струмів i(t) та неелектричних параметрів H. За допомогою виразів (1.20) можуть бути отримані як традиційні описи нелінійних динамічних систем, так і нові співвідношення, що мають практичне значення. Підхід дозволив синтезувати компактні машинні представлення низки аналогових та цифрових нелінійних схем з врахуванням впливу конструктивно-технологічних та експлуатаційних параметрів.