2.4. Створення моделей систем за допомогою рівнянь змінних станів

Традиційно для опису нелінійних систем використовується метод змінних станів. Якщо система описується системою звичайних диференційних рівнянь у формі Коші з правими частинами, які мають певну кількість похідних, тоді модель такої системи може бути побудована у вигляді лінійної підсистеми і нелінійної вектор-функції від вхідного, вихідного та внутрішнього сигналів, а також від необхідної кількості похідних вихідного та внутрішнього сигналів. При цьому модель матиме вигляд:

y(t)=W(p)v(t);

v(t)=F[u,y,y',...,y⁽ⁿ⁾,v,v',...,v⁽ⁿ⁾,t], (2.37)

де u(t),y(t),v(t) - вектори вхідного, вихідного та внутрішнього сигналів; W(p) - операторна передавальна функція лінійної підсистеми; F() - нелінійна вектор-функція. Передавальну функцію W(p) можна побудувати у малосигнальному режимі системи в околі деякого стійкого стану. Процедура ідентифікації нелінійної вектор-функції F() зводиться до розв'язання апроксимаційної задачі, якщо відомі вектори u(t),y(t),v(t) та їх похідні. Вектори u(t) та y(t) отримуються шляхом безпосереднього вимірювання вхідних дій та вихідних реакцій системи. Внутрішній вектор v(t) визначається за допомогою спеціальних прийомів.

Для опису нелінійних динамічних систем у просторі змінних станів використовуються також алгебро-диференціальні рівняння виду:

x’=f(x,u,t),

y=G(x,u,t), (2.38)

де u(t),x(t),y(t) – дійсні вектор-функції відповідно вхідних сигналів (збурень), параметрів стану та вихідних сигналів (реакцій); y=G(x,u,t) – дійсна вектор-функція, диференційовна за часом t при t [t ,T]. Вектор змінних станів у загальному випадку містить певні внутрішні змінні системи, компонентами вектора вхідних змінних є незалежні струми та напруги, вектор вихідних змінних містить незалежні струми та напруги, що не увійшли до вектора u. Умови існування рівнянь стану залежать від вибору векторів u та y. На основі моделі (2.38) зручно формувати описи схем з багатополюсниками та застосовувати методи числового інтегрування, однак наявність у рівняннях вектора x, компоненти якого у загальному випадку безпосередньо спостерігати не можна, ускладнює процедуру моделювання. Загальна формальна процедура ідентифікації структури (2.38) для довільних нелінійних динамічних систем невідома. Тому розглядаються часткові структури, зокрема, найчастіше використовуються моделі Гаммерштейна та Вінера. Підхід дозволив отримати математичні моделі низки перетворювачів, автогенераторів, випадкових процесів, розробити процедуру оцінки розмірності динамічних систем.

Існує метод моделювання нелінійних динамічних систем з виділеною лінійною частиною в просторі змінних станів у дискретній формі. На першому етапі побудови моделі знаходиться її лінійне наближення у неперервній формі. Потім на основі оптимізаційних процедур будується відповідна нелінійна модель. Дискретна модель нелінійного багатополюсника отримується на основі запису для рівняння стану його дискретного аналога або різницевого рівняння. Лінійна частина дискретної моделі представляється у формі:

x^(k+1)=Fx(k)+Gu(k),

y^(k+1)=Cx^(k+1), (2.39)

де u^(k),y^(k),x^(k) – k - ті дискрети векторів відповідно вхідних дій, вихідних реакцій та змінних станів; F,G,C - дійсні матриці відповідних розмірів.

Ідентифікація параметрів моделі (2.39), в якості яких виступають елементи матриць F,G,C, здійснюється за допомогою алгоритму Хо-Калмана. У зв’язку з тим, що застосування даного алгоритму у більшості випадків приводить до моделі занадто високого порядку, отримане за допомогою алгоритму Хо-Калмана представлення доводиться замінювати на модель меншої розмірності.

Нелінійна модель може будуватись у формі білінійної дискретної моделі виду:

x^(k+1)=Fx^(k)+Gu^(k)+Dx^(k)Lu^(k),

y^(k+1)=Cx^(k+1), (2.40)

де F,G,D,C,L - дійсні матриці відповідних розмірів. На початковому етапі моделювання значення елементів матриці D приймаються рівними нулю і на основі відомої матриці Генкеля, отриманої в режимі малого сигналу, будується лінійне наближення, тобто визначаються матриці F,G,C. Потім, використовуючи масиви початкових даних, які відповідають нелінійному режиму системи, за допомогою оптимізаційних процедур знаходяться оптимальні значення елементів матриці D, що забезпечують мінімальну сумарну похибку відтворення білінійною моделлю перетворення схеми "вхід-вихід". Підхід дозволив побудувати моделі низки мікросхем.

Існують деякі методи моделювання та синтезу нелінійних систем на основі диференційних рівнянь в явній формі як з неперервними, так і з розривними нелінійностями. Зокрема існує розв’язання задачі синтезу нелінійних систем на основі рівнянь змінних станів. Запропоновано методи отримання таких рівнянь. Розглядаються граничні траєкторії та проблему стабільності розривних систем на обмеженому та необмеженому інтервалах часу. Системи, які описуються звичайними диференційними рівняннями з розривними правими частинами, можуть бути як автономними, так і неавтономними, лінійними або нелінійними. Робиться припущення, що диференційні рівняння мають розв’язки у сенсі Філіппова. Отримано достатні умови стійкості розривних систем. На основі рівнянь змінних станів отримано якісні оцінки стабільності та кількісні оцінки границь і поведінки траєкторії систем у перехідних режимах. Оцінки знайдено для автономних та неавтономних, лінійних та нелінійних, простих та взаємозв’язаних систем. Встановлено та доведено достатні умови стійкості та нестійкості систем, використовуючи функції Ляпунова.