Тема 9. Элементы теории массового обслуживания

Основные понятия и классификация систем массового обслуживания. Понятие Марковского случайного процесса. Потоки событий. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний. Процесс гибели и размножения. Системы массового обслуживания с отказами, с ожидание (очередью). Понятие о статистическом моделировании системы массового обслуживания (метод Монте-Карло).

Задачи для самостоятельного решения

Задача 9.1. Построить граф состояний следующего случайного процесса: система состоит из двух автоматов по продаже газированной воды, каждый из которых в случайный момент времени может быть либо занятым, либо свободным.

Задача 9.2. Построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

З адача 9.3. Найти предельные вероятности для систем S, граф которых изображен на рисунках.

Задача 9.4. Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин с одинаковым каналом (одной группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,5 час. На осмотр поступает в среднем 36 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний – простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмотра необслуженной. Определить вероятности состояний и характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра машин.

Задача 9.5. Решить задачу 9.4 для случая n=4 (групп проведения осмотра). Найти число каналов, при котором относительная пропускная способность пункта осмотра будет не менее 0,9.

Задача 9.6. Анализируется работа междугородного переговорного пункта в небольшом городке. Пункт имеет один телефонный аппарат для переговоров. В среднем за сутки поступает 240 заявок на переговоры. Средняя длительность переговоров (с учетом вызова абонентов в другом городе) составляет 5 мин. Никаких ограничений на длину очереди нет. Потоки заявок и обслуживаний простейшие. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном режиме.

Задача 9.7. Решить задачу 9.6 для случая n=3 телефонных аппаратов.

Задача 9.8. Решить задачу 9.5 при условии, что автомобиль, прибывший в пункт осмотра, покидает этот пункт лишь в случае, если в очереди на осмотр стоят более 5 автомашин.

Задача 9.9. Решить задачу 9.7 при условии, что длина очереди не должна превышать 60 человек.

Тема 10. Модели управления запасами

Основные понятия. Статическая детерминированная модель без дефицита (с дефицитом). Стохастические модели управления запасами. Стохастические модели управления запасами с фиксированным временем задержки поставок.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 10.1. Склад пополняется каждый месяц некоторыми изделиями. В течение первых пяти месяцев года объемы пополнения равны соответственно 10, 20, 20, 20 и 30 изделиям. Начальный запас к началу первого месяца равен 10 изделиям. На основании опыта получено распределение спроса на товар, представленное в таблице, где r- спрос, а p(r) – статистическая вероятность. Сдвиг во времени между заказом на пополнение и доставкой на склад равен 6 мес. Издержки в расчете на одно изделие из-за излишка изделий равны 10 ден. ед., а от их нехватки – 120 ден. ед. Найти оптимальное пополнение склада на шестой месяц.

r	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
p(r)	0,00	0,00	0,01	0,02	0,05	0,08	0,11	0,12	0,14	0,13	0,10
r	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200	>200
p(r)	0,08	0,05	0,03	0,02	0,02	0,01	0,01	0,01	0,01	0,00	0,00

Задача 10.2. Кондитерское предприятие торгует вразвес своими тортами. Каждый килограмм торта приносит 2 ден. ед. прибыли. Все торты можно продать на следующий день со скидкой 0,2 ден.ед. На основании опыта получено распределение спроса на торты, представленное в таблице, где r- спрос, а p(r) – статистическая вероятность. Найти оптимальную дневную выработку тортов.

r	0	1	2	3	4	5	6
p(r)	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1	0,1	0,0

Задача 10.3. Решить задачу 10.2 при условии, что спрос на торты есть случайная величина, распределенная по показательному закону с параметром .

Задача 10.4. Ежедневный спрос на некоторый продукт составляет 100 ед. Затраты на приобретение каждой партии этого продукта, не зависимые от объема партии, равны 100 ден.ед., а затраты на хранение единицы продукта – 0,02 ден. ед. в сутки. Определить наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками партии такого объема.

Задача 10.5. Решить задачу 10.4 в предположении, что возможен дефицит, который приносит 0,03 ден. ед. убытка в день на единицу продукта.

Задача 10.6. Интенсивность поступления деталей на склад готовой продукции цеха составляет в начале смены 5 дет./мин., в течение первого часа линейно возрастает, достигая к концу его 10 дет./мин., и затем остается постоянной. Полагая, что поступление деталей на склад происходит непрерывно в течение всех семи часов смены, а вывоз деталей со склада производится только в конце работы, записать выражение для уровня запаса в произвольный момент времени и, используя его, найти количество деталей на складе: а) через 30 мин. после начала работы; б) в конце смены.

Задача 10.7. В условиях задачи 10.6 интенсивность поступления деталей на склад в течение первых 50 мин. растет по закону а(t)=0,2t+5, а затем до конца смены остается постоянной. Найти количество деталей на складе: а) через 10 мин. после начала работы; б) в конце работы.

Задача 10.8. Потребность сборочного предприятия в деталях некоторого типа составляет 120000 деталей в год, причем эти детали расходуются в процессе производства равномерно и непрерывно. Детали заказываются раз в год и поставляются партиями одинакового объема, указанного в заказе. Хранение детали на складе стоит 0,35 ден. ед. в сутки, а поставка партии – 10000 ден. ед. Задержка производства из-за отсутствия деталей недопустима. Определить: 1) наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, которые нужно указать в заказе (предполагается, что поставщик не допускает задержки поставок); 2) на сколько процентов увеличатся затраты на создание и хранение запаса по сравнению с минимальными затратами при объеме заказываемых партий 5000 деталей; 3) с учетом вышеизложенного определить, при каком уровне запаса следует заказывать следующую партию, если предположить, что заказываются не все партии сразу, а каждая отдельно, причем срок выполнения заказа равен 16 дней.