12. Представление дискретных систем и сигналов в частотной области. Комплексная частотная характеристика дискретных систем. Пример.
Дискретные
сигналы могут быть представлены
различными способами, причем, как и для
аналоговых сигналов и систем, особо
важную роль для дискретных сигналов и
систем играют синусоидальные и комплексные
экспоненциальные последовательности.
Это объясняется тем, что основное
свойство линейных инвариантных к сдвигу
систем состоит в том, что в установившемся
состоянии отклик на синусоидальный
входной сигнал является синусоидой той
же частоты с амплитудой и фазой,
определяемыми системой. Именно это
свойство линейных инвариантных к сдвигу
систем делает представление сигналов
через синусоиды и комплексные экспоненты
таким полезным.
Отсюда
видно, что
описывает изменение комплексной
амплитуды комплексной экспоненты как
функции частоты W
. Величина называется частотной
характеристикой системы, у которой
импульсная характеристика равна h(n). В
общем случае
— комплексная функция и может быть
выражена через свои действительную
.
Поскольку — периодическая функция частоты, она может быть представлена в виде ряда Фурье. Фактически (2.44) и представляет в виде ряда Фурье, в котором коэффициентами Фурье являются значения импульсной характеристики h(n). Отсюда следует, что h(n) могут быть определены через как коэффициенты Фурье периодической функции , т. е.
(2.46
где
(2.47)Эти равенства можно также трактовать
как представление последовательности
h(n).
Л именно, полезно рассматривать (2.46) как
представление последовательности h(n)
в виде суперпозиции (интеграла)
экспоненциальных сигналов, комплексные
амплитуды которых определяются выражением
(2.47). Таким образом, (2.46) и (2.47) являются
парой преобразований Фурье для
последовательности h(n),
где (2.47) играет роль прямого, а (2.46)
обратного преобразования Фурье. Такое
представление существует только тогда,
когда ряд в (2.47) сходится.
комплексная
частотная характеристика, определяемая
как отношение комплексного спектра
сигнала на выходе системы к комплексному
спектру входного сигнала. Частотная
характеристика фильтра определяется
как преобразование Фурье (дискретное
преобразование Фурье в случае цифрового
сигнала) от импульсной характеристики.
Пример: Вычислить КЧХ идеальной системы задержки y(n)=x(n-nd).
Заменим
формулу для отклика системы, если входной
сигнал:
,
т.к. это линейная стационарная система,
то
,
где
–
коэффициент пропорциональности,
комплексная амплитуда
Пусть
nd=1,
тогда
амплитудно-частотная
характеристика системы для любых
значений частоты постоянна и равна 1.
13. Представление кчх дискретных систем в алгебраической и в показательной форме. Расчет кчх. Пример.
Т.к.
комплексно частотная характеристика
это и есть комплексное число, то она
записывается в виде:
,
с=Rec+jImc
Показательная
формула:
,
Пример: Вычислить КЧХ идеальной системы задержки y(n)=x(n-nd).
Заменим формулу для отклика системы, если входной сигнал: , т.к. это линейная стационарная система, то
, где – коэффициент пропорциональности, комплексная амплитуда
Пусть nd=1, тогда
амплитудно-частотная характеристика системы для любых значений частоты постоянна и равна 1.