Контрольная работа

ВАРИАНТ 1

1.Найти производную функции у = .

2.Найти производную третьего порядка от функции у = х ln х.

3.Найти предел с использованием правила Лопиталя:

4.Разложить по формуле Маклорена функцию f(x) = ln (l + х),

ВАРИАНТ 2

1.Найти угол наклона к оси Оx касательной к гра­фику функции

2.Найти производную n-го порядка от функции y = e^2x.

3.Найти предел с использованием правила Лопиталя:

4.Разложить по формуле Маклорена функцию f(x) = (1 + x)^α, где α — вещественное число,

ВАРИАНТ 3

1.Найти производную второго порядка от функции .

2.Найти производные до n-го порядка от функции у = ln х.

3.Найти предел с использованием правила Лопиталя: lim √x +1/√x -1

x→∞

4.Разложить по формуле Маклорена функцию f(x) = sin x.

Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для любого х Х функ­ция F(x) дифференцируема и выполняется равенство F'(x) = f(x).

Пример 1. Функция F(x) = sin x является первообразной для функции f(x) = cos x на бесконечном промежутке (- , + ), так как при любых х выполнено равенство (sin x)' = cos х.

Пример 2. Функция F(x) = ln x — первообразная для функ­ции f(x) = 1/x на промежутке (0, + ), так как в каждой точке этого интервала выполнено равенство (ln x)' =1/x.

Если F(x) — первообразная, то и функции F(x) + С, где С - произвольное постоянное число, также первообразная для функции f(x), так как [F(x) + С]' = f(x).

Неопределенный интеграл

Определение 2. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на промежутке Х называется неопределен­ным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обо­значается символом

Где:

─ знак интеграла,

f(x) — подынтегральная функция,

f(x)dx — подынтеграль­ное выражение,

переменная х — переменная интегриро­вания.

Операция нахождения первообразной по ее производной или неопределенного интеграла по заданной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции.

Пример: = x² + С; проверка: (x² + С)' = 2х.

Основные свойства неопределенного интеграла

Свойства, которые непосредственно вытекают из определения неопределенного интеграла.

Линейные свойст­ва неопределенного интеграла.

Таблица основных неопределенных интегралов (табличных интегралов)

Интегралы от не­которых элементарных функций − не являются элементар­ными функциями (примеры):

Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование

Метод подстановки или метод замены переменной

ТЕОРЕМА 1. Пусть функция х = φ(t) определена и диффе­ренцируема на некотором промежутке Т, а Х — множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если функция f(x) имеет первообразную на множестве Х, то на множестве Т справедлива формула

(1)

Выражение (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Пример:

Решение. Здесь разложение по биному Ньютона представ­ляется весьма сложным. Введем новую переменную t = х — 1. Тогда х = t + 1, dx = dt, и исходный интеграл преобразуется следующим образом:

Сделав обратную замену переменной, получаем окончатель­ный ответ: