Классы интегрируемых функций

ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на нем.

ТЕОРЕМА 2. Если определенная и ограниченная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

ТЕОРЕМА 3. Монотонная на отрезке [а, b] функция f(x) ин­тегрируема на этом отрезке.

Основные свойства определенного интеграла

1. Интеграл был определен для случая, когда a < b. Обобщим понятие определенного интеграла и на дру­гие случаи.

По определению полагаем

(3)

как определенный интеграл на отрезке нулевой длины.

Также по определению полагаем, что

(4)

поскольку при движении от b к а все длины частичных отрез­ков Δx_i = x_i-1 — x_i имеют отрицательный знак в интегральной сумме (1).

2. Для любых чисел а, b и с имеет место равенство

(5)

3. Постоянный множитель можно выносить за знак опреде­ленного интеграла:

(6)

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функ­ций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:

(7)

Заметим, что свойство 4 имеет место для любого конечного числа слагаемых.

Будем полагать далее, что а < b.

5. Если функция f(x) ≥ 0 всюду на отрезке [а, b], то

6. Если f(x) ≤ g(х) всюду на отрезке [а, b], то

7. Если функция f(x) интегрируема на [а, b], то

8. Если М и т — соответственно максимум и минимум функции f(x) на отрезке [а, b], то

Контрольная работа

а)Найти пределы с использованием правила Лопиталя.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

б)Разложить по формуле Маклорена

12. функцию f(x) = tg x до члена с x³ включительно.

13. функцию f(x) = e^-x до члена с x² включительно.

в)Найти пределы с использованием разложений по формуле Мак­лорена.

14. .

15. .

16. .

17. .

г)Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графиков функций.

18. .

19. .

20. .