14. Равномерное распределение. Показательное распределение. Вероятность попадания св в заданный интервал.

1. равномерный закон распределения. З-н распределения непрерывной случайной величины Х, принимающей все свои значения из отрезка [a,b] называется равномерным если ее плотность распределения р(х) на этом отрезке постоянна, а вне его равна 0. Т.е. Используя св-ва плотности распределения можно найти постоянную С. С= .

Используя формулу F(x)= можно найти ф-ию распределения:

С равномерным распределением встречаются всякий раз, когда условия опыта величина Х принимает значение в конечном промежутке [α;β]. Все значения из этого промежутка возможны в одинаковой степени, причем ни одно из значений не имеет преимуществ перед одним.

М(Х)= - мат. ожидание для случайной величины Х, распределенной по равномерному з-ну.

D(X)= - дисперсия случайной величины Х, имеющей равномерный з-н распределения.

δ(X)= - среднее квадратическое отклонение Х, им. равномерный з-н распределения. 2.Показательное распределение – распределение с плотностью вероятностей, имеющей след. вид: Ф-ия распределения F(X) случайной величины Х, распределенной по показательному з-ну имеет следующий вид: Показательный з-н распределения вероятностей встречается во многих задачах, связанных с простейшим потоком событий. Под потоком событий понимают последовательность событий наступающих одно за другим в определенные моменты (случайные моменты). М(Х)= - мат. ожидание случ. величины Х, им. показательный з-н распределения D(X)= - дисперсия случайной величины Х, им. показательный з-н распределения δ(X)= Теорема: вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал (а,в) равна определенному интегралу от ее плотности распределения р(х) по отрезку [a, b], т.е. Р(а<X<b)=

20.Осн. хар-ки генеральной и выборочной сов-ти.

* пусть требуется изучить дискретную генеральную сов-ть относительно колич. признака Х. Пусть распределение колич. признака Х генеральной сов-ти известно и задано таблицей:

варианты	х1	х2	…	хк
частоты	N1	N2	…	Nk

N₁+N₂+…+N_k=N Ср. арифмет. (мат. ожидание) распределение признака Х ген. сов-ти вычисляется по ф-ле:

= - генеральная средняя.

D₀(X)= - дисперсия.

Предположим, что для изучения генеральной сов-ти относительно колич. признака Х из нее извлечена выборка объема n. *распределение признака Х в выборочной сов-ти будем считать также известным и предст. в виде таблицы:

варианты	х1	х2	…	хк
частоты	n1	n2	…	nk

n₁+n₂+…+n_k=n

Ср. арифмет. (мат. ожидание) и дисперсия распределения признака Х в выборочной сов-ти назыв. выборочной средней и выборочной дисперсией соотв. Они находятся по соотв. формулам:

= D(X)=

Средние квадрат. отклонения: δ₀₌ ; δ₌

16. Понятие о з-не больших чисел. Неравенства Маркова и Чебышева.

Понятие о з-не больших чисел. При проведении серии одинаковых испытаний частота появлений случайного события при большом числе испытаний обнаруживает св-во статистической устойчивости, что соответствует объективной возможности появления случайного события в отдельном испытании, т.е. его вероятности. Аналогичный результат имеет место и применительно к случайной величине. Отдельные значения СВ могут значительно отклоняться от ее среднего значения. Среднее арифметическое большого числа отдельных значений СВ уже незначительно отклоняется от ее среднего значения. Наблюдаются единичные явления вместе со всеми их индивидуальными особенностями, мешающими проявлению тех закономерностей, которые имеют место при наблюдении большого числа аналогичных явлений. То, что факторы, не связанные с существом всего процесса, а проявляющиеся только в единичных его осуществлениях, при рассмотрении среднего из большого числа наблюдений взаимно погашаются, было замечено давно. Наблюдавшиеся на опыте закономерности устойчивого характера частоты или значения средней СВ при большом числе наблюдений некоторые авторы до сих пор принимают за содержание закона больших чисел. На самом же деле непреходящая ценность исследований Чебышева, Маркова и других ученых в области з-на больших чисел состоит не в том, что они подметили эмпирическую устойчивость средних, а в том, что они нашли те общие условия, выполнение которых обязательно влечет за собой статистическую устойчивость средних. Часто приходится применять з-н больших чисел, когда количество СВ не очень велико. Тогда отклонения суммы СВ от ее мат ожидания могут быть значительными. Важно суметь оценить р-ры этих отклонений. Под законом больших чисел понимают группу близких по содержанию теорем теории вероятностей, указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов.

Неравенства Маркова и Чебышева.

По данному з-ну распределения СВ могут быть определены ее характеристиками: мат. ожидание, дисперсия и др.

С др. стороны знание числовых хар-к если не полностью, то в некотором смысле характеризует з-н распределения. Целью рассматривания далее неравенств является оценка з-на распределения по заданным числовым характеристикам. Теорема 1: если СВ Х может принимать только неотриц. значения, и у нее есть мат. ожидание, то для любой положит. величины δ той же размерности, что и Х выполняется неравенство: Р(Х<ε)≥1- . В этом случае выполняется и след. неравенство: Р(Х>ε)< - НЕРАВЕНСТВА МАРКОВА. Теорема 2: если Х – СВ, дисперсия которой конечна, то для любого числа ε>0, выполняется след. неравенства Чебышева:

Р(|Х-М(Х)|>ε)< Р(|Х-М(Х)|<ε)≥ 1-

Если бы была известна ф-ия распределения F(x)=p(X≤x), то вероятность во втором неравенстве Чебышева можно было бы найти точно. р(|Х-М(Х)|<3δ)≥ 1- . Т.е с достаточно близкой к 1 вероятностью р=0,8889 можно утверждать что отклонение СВ от ее мат. ожидания будет по модулю меньше чем 3δ.