11. Биномиальное распределение.

Пусть производится n испытаний удовлетворяющих схеме Бернулли. Пусть теперь Х – случайная величина, равная числу появления события А в n испытаниях. Понятно, что событие А может вообще не наступить, наступить 1, 2, … раза и наконец наступить n раз. Следовательно возможными значениями величины Х будут числа: 0, 1, 2, 3,…, n. По формуле Бернулли можно найти вероятности этих значений и полученные данные записать в виде закона распределения случайной величины Х.

Рn(0)=Cn0p0qn-0=qn. Pn(n)=Cnnpnqn-n=pn. При чем Рn(m)>0 и - бином Ньютона.

Построенный з-н распределения дискретной случайной величины Х называется законом биноменального распределения. Числовые характеристики биноменальной случайной величины Х: M(X)=np; D(X)=npq; δ(X)= . Постоянные n и p называются параметрами биноменального распределения.

12. Распределение Пуассона.

Случайная величина Х, которая принимает значение m с вероятностью , где λ=np>0, m=0,1,2 … называется распределенной по закону Пуассона с параметром λ. Данная случайная величина Х – случайная величина, равная числу появлений события А в n испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли. З-н распределения Пуассона можно записать в виде таблицы. Pn(m)>0 и

Числовые характеристики случайной Х, распределенной по закону Пуассона с λ: М(Х)=λ; D(X)=λ; δ(X)= ; λ=np.

Согласно теории Пуассона распределение Пуассона – это предельный случай биноменального распределения, когда р→0, n→∞ и np=λ=const. По закону Пуассона распределены числа так называемых редких явлений.

10.Дискретные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин.

Случайная величина, которая может принимать только конечное или счетное мн-во значений называется дискретной. Значение случайной дискретной величины можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности х1, х2, х3… . Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между значениями х1, х2, х3… этой величины и их вероятностями р1, р2, р3… Т.к. в результате испытания величина Х всегда примет одно из значений х1, х2,…, хn , то р1+р2+…+рn+…= . З-н распределения дискретной случайной величины для наглядности изображают графиком, который называется многоугольником распределения случайной величины Х. Для этого в прямоугольно-декартовой системе координат строят точки с координатами (хк, рк) и соединяют их последовательно отрезками прямых. Т.о. имеются 2 способа задания дискретной случайной величины. Один с помощью ф-ии распределения, 2-ой с помощью закона распределения. Ф-ии распределения F(x) для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения х1, х2,…,хn с вероятностями имеет вид: , где означает, что суммируются Р тех значений, которые меньше х. является разрывной. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х, принимающей конечное мн-во значений, с законом распределения )=рк, к= , называется сумма произведений ее значений на их соответствующие вероятности. Т.е. М(Х)=х1р1+х2р2+…+хnpn= Математическое ожидание дискретной величины приближенно равно сумме всех ее возможных значений. Поэтому математическое ожидание случайной величины называется ее средним значением. Математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей бесконечную последовательность значений с законом распределения )=рк, к=1,2,3…, опр-ся формулой: , если этот ряд сходится абсолютно; в противном случае считают, что у данной случайной величины нет математического ожидания. Св-ва математического ожидания случайной величины: Значение математического ожидания случайной величины Х заключено между ее наименьшим а и наибольшим значением в,т.е. а≤М(Х)≤в; Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной М(С)=С, С – const; Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х), С – cons.

Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайной величины равно алгебраической сумме их математических ожиданий. Например,для двух случайных величн М(Х±У)=М(Х)±М(У). Отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания (или отклонением случайной величины Х) наз. случайная величина Х-М(Х). Теорема: мат. ожидание отклонения Х-М(Х)=0, т.е. М(Х-М(Х))=0. Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е. D(X)=М(Х-М(Х))2). Из определения и св-в математического ожидания следует, что дисперсия любой случайной величины неотрицательна, т.е. D(X)≥0. Легко показать, что дисперсия случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата величины Х и квадратом ее математического ожидания, т.е. D(X)=М(Х)2-(М(Х))2. Св-ва дисперсии случайной величины: Дисперсия постоянной величины равна 0. D(С)=0;

постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. D(СX)=С2 D(X); дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. D(X±У)= D(X)+ D(У)

Дисперсия дискретной случайной величины с законом распределения )=рк, к= , опр-ся формулой Если дискретная случайная величина принимает бесконечную последовательность значений с законом распределения )=рк, к=1,2,3…, , то ее дисперсия опр-ся формулой: , при условии, что этот ряд сходится (т.е.принимает какое-то значение). Средним квадратным отклонением (стандартным отклонением) случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии, т.е. δ(Х)= .