1. Формирование циклического кода

Таблица 1. Исходные данные

Вариант №	Информационная комбинация	Основа синтеза
17	1010001	G(x)

Информационную комбинацию, заданную в двоичном коде, представляем в виде полинома G(x):

Информационный код имеет =7 разрядов

Циклический код состоит из разрядов, где r – количество проверочных разрядов.

Найдем количество проверочных разрядов r, решив неравенство(2):

Подставим , получим:

При = 4 неравенство верно.

Таким образом,

Выбираем образующий полином исходя из полученного значения r = 4.

1. Сдвиг информационной последовательности на r = 4 разрядов влево

.

2. Деление на порождающий многочлен P(x):

где - остаток от деления.

Ниже приводим осуществление деления столбиком:

R(x) = 001 – остаток.

3. Образование циклического кода:

.

- образованный циклический код

Избыточность кода:

Кодовая скорость:

Общее число кодовых комбинаций рассматриваемого кода (11,7):

Число разрешенных кодовых комбинаций:

Число запрещенных кодовых комбинаций:

Для получения всех ненулевых разрешенных комбинаций составляют порождающую матрицу называемую также образующей или производящей матрицей, которая состоит из единичной матрицы размерности k,k и матрицы проверочных элементов размерности k,n-k.

Единичная матрица имеет вид:

Для нахождения строк матрицы проверочных элементов выполняется деление многочлена вида на порождающий многочлен :

Порождающая матрица будет иметь вид:

Каждая строка этой матрицы является разрешенной кодовой комбинацией кода (11,7). Для получения остальных разрешенных кодовых комбинаций необходимо каждую строку матрицы сложить по mod2 с каждой строкой, затем с двумя строками, с тремя и т.д.

Для определения минимального кодового расстояния циклического кода (n,k) следует составить его проверочную матрицу , которая получается путем транспонирования (замены местами строк и столбцов) матрицы проверочных элементов с последующим дописыванием справа элементов единичной матрицы размерностью (n-k). В нашем случае проверочная матрица циклического кода (11,7) имеет вид:

Минимальное кодовое расстояние равно минимальному числу столбцов, построчная сумма по mod2 элементов которых дает нулевой столбец.

В нашем случае , то есть мы можем обнаружить 2 ошибки и исправить 1.

2. Имитация безошибочного прохождения циклического кода по системе передачи дискретных сообщений

Таблица 2. Имитация безошибочного прохождения кода

Номер разряда	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
F(x) до передачи	1	0	1	0	0	0	1	0	0	0	1
G(x) после передачи	1	0	1	0	0	0	1	0	0	0	1

Найдем синдром циклического кода после прохождения по системе передачи дискретных сообщений. Разделим принятую комбинацию G(x) на образующий полином P(x):

Если остаток от деления R(x) равен нулю, то значит, ошибка не произошла, в крайнем случае, не обнаружена, иначе ошибка произошла.

Видим, что остаток от деления R(x)=0. Это свидетельствует о том, что комбинация прошла по системе передачи дискретных сообщений без ошибок.