1. Короткі теоретичні відомості та приклади

Многогранник називається правильним, якщо всі його грані – рівні правильні многокутники, а всі вершини рівновіддалені від деякої точки. Цю точку називають центром правильного многогранника.

Існує п’ять видів правильних многогранників: куб, правильний тетраедр, правильний октаедр, додекаедр і правильний ікосаедр. Назви тетраедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр у перекладі з грецької означають відповідно: чотиригранник, восьмигранник, дванадцятигранник і двадцятигранник. Куб називають ще правильним гексаедром.

Властивості правильних многогранників

1. Усі ребра правильного многогранника рівні.

2. Усі двогранні кути правильного многогранника, які містять грані із спільним ребром, рівні.

Види правильних многогранників

Зображення тіла	Вид многогранника	Вид грані (фігура)	Число ребер при вершині	Загальне число ребер	Загальне число граней	Загальне число вершин
	Правильний тетраедр	Правильний (рівносторонній) трикутник	3	6	4	4
	Куб (правильний гексаедр)	Правильний чотирикутник – квадрат	3	12	6	8
	Правильний октаедр	Правильний (рівносторонній) трикутник	4	12	8	6
	Правильний додекаедр	Правильний п’ятикутник	3	30	12	20
	Правильний ікосаедр	Правильний (рівносторонній) трикутник	5	30	20	12
		Зауваження. Не слід плутати правильний тетраедр, у якого всі ребра рівні, з правильною трикутною пірамідою, в якої бічне ребро не обов’язково дорівнює ребру основи. Правильний тетраедр – окремий випадок правильної трикутної піраміди.

Форму куба мають кристали кухонної солі та деякі алмази. Інші алмази кристалізуються у формі правильних октаедрів. Кристали піриту (залізного колчедану) мають форму правильного додекаедра. Властивості правильних ( і похідних від них) многогранників використовують також архітектори й будівельники, які створюють просторові конструкції.

Задача 1. Учень пояснює: «Кожна призма - це многогранник, тому кожна правильна призма – це правильний многогранник.». Чи правильно це?

Розв’язання. Ні. Якщо призма не чотирикутна, то її основа не дорівнює бічній грані. Такий многогранник не може біти правильним, бо не всі його грані рівні. З усіх призм тільки куб є правильним, бо всі його грані рівні.

Задача 2. Знайдіть площу поверхні правильного гексаедра, ребро якого дорівнює 12 см.

Розв’язання. Правильний гексаедр або квадрат має 6 граней, які є квадратами.

Нехай а - довжина ребра гексаедра.

Тоді, см².

Відповідь: 864 см².

Задача 3. Знайдіть довжину ребра правильного гексаедра, якщо площа його поверхні дорівнює 726 см².

Розв’язання. Правильний гексаедр або квадрат має 6 граней, які є квадратами.

Нехай а - довжина ребра гексаедра.

Тоді, см.

Відповідь: см.