Тема 9. Дифференциальные уравнения

Задачи в управлении, приводящие к дифференциальным уравнениям. Понятие дифференциального уравнения (ДУ). Порядок и степень. Разрешенная форма. Дифференциальное уравнение 1-го порядка. Геометрическая, интегральная кривая. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения ДУ. Понятие краевой задачи. Метод разделения переменных при решении ДУ 1-го порядка. Однородное линейное ДУ 1-го порядка (вариация произвольной постоянной, метод интегрирующего множителя). Уравнение Бернулли, Лагранжа и Клеро. ДУ высших порядков. Теорема Пикара. Общее решение Д n-го порядка. ДУ, интегрируемые в квадратурах и допускающие понижение порядка. Линейные ДУ n-го порядка, их свойства. Свойства решений линейных однородных ДУ. Определить Вронского. Фундаментальная система решений. Общее решение линейных однородных ДУ и метод Лагранжа. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение и решение ДУ по методу Эйлера. Применение динамических моделей в управлении социально-экономических систем. Элементы теории линейных разностных уравнений. Основные понятия. Применение разностных уравнений в экономике и управлении.

Тема 10. Системы обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений

Нормальная система дифференциальных уравнений. Автономные системы. Геометрический смысл решения. Фазовое пространство и фазовая кривая. Приложения в моделировании экономических процессов. Задача Коши для нормальной системы ДУ. Системы линейных ДУ, свойства решений. Решение систем линейных ДУ с постоянным коэффициентами. Системы линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

Тема 11. Случайные события. Случайные величины

Предмет теории вероятностей. События. Алгебра событий. Достоверное, невозможное, противоположное и равносильное события. Сумма, произведение событий. Полная группа событий, пространство элементарных событий. Определение вероятности. Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей. Вероятностное пространство. Формулы полной вероятности и Байеса. Независимость случайных событий. Теорема умножения и сложения вероятностей. Независимые испытания и схема Бернулли. Предельные теоремы схемы (Бернулли, Муавра-Лапласа). Схема Пуассона, закон редких событий. Простые и однородные цепи Маркова.

Случайные величины и способы их описания. Случайная величина и функция распределения. Нормальное распределение. Стандартное нормальное распределение. Дискретные и непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Другие основные распределения. Функции Гаусса и Лапласа. Логарифмически нормальное распределение. Системы случайных величин, их функция распределения. Независимости и стохастическая зависимость случайных величин. Условные функция и плотность распределения. Условные математические ожидание и функция регрессии. Корреляционная зависимость. Функции случайных величин. Распределение суммы двух случайных величин. Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях. Закон больших чисел и его следствие. Понятие случайного процесса, его характеризация. Корреляционная функция. Основные типы случайных процессов. Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин. Стационарность и эргодичность. Диффузионный процесс. Понятие гауссовского и марковского процессов. Цепи Маркова и их использование в моделировании социально-экономических процессов.