2. Первый интерполяционный многочлен Ньютона.

Будем искать интерполяционный многочлен n – ой степени в виде:

_.

Коэффициенты , находим следующим образом:

_При х=х₀,

_При х=х₁,

_При х=х₂,

_{При х=х3},

_{…………………………………………………………………………………………………….}

_{При х=хn,}

Т.о. имеем первый интерполяционный многочлен Ньютона:

или

На практике чаще всего используется другая форма записи многочлена .

Положим, или .

Тогда,

т.о., первый интерполяционный многочлен Ньютона запишется в виде:

_{и абсолютная погрешность многочлена} (т.е. оценочная функция) имеет вид:

Замечание: С помощью первой интерполяционной формулы Ньютона обычно вычисляют значения функции для х близких к х₀, т.е. находящихся в начале таблицы.

Пример: В таблице значения функции приведены с верными значащими цифрами. Вычислить с помощью первого интерполяционного многочлена Ньютона и оценить погрешность результата.

x	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9
lnx	0,405	0,470	0,531	0,588	0,642

Решение.

Для нашего случая первый интерполяционный многочлен Ньютона примет вид:

Составим таблицу конечных разностей:

x	f(x)=lnx	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
1,5	0,405	0,065	-0,004	0,000	0,000
1,6	0,470	0,061	-0,003	0,000
1,7	0,531	0,057	-0,003
1,8	0,588	0,054
1,9	0,642

Исходя из таблицы, первый интерполяционный многочлен можем записать в виде:

Выберем узлы для нахождения приближенного значения y=ln1,64:

Имеем,

Оценим погрешность:

Получаем, что при х=1,64 погрешность нулевая, т.е. значение функции в точке 1,64 вычислено практически точно.

3. Второй интерполяционный многочлен Ньютона.

При вычислении значения функции для х из конца таблицы, т.е. близких к х_n, применяется второй интерполяционный многочлен Ньютона:

Если взять или , то многочлен запишется в виде:

Остаточный член и оценочная функция второй интерполяционной формулы Ньютона:

и абсолютная погрешность (остаточный член):

6. Линейное интерполирование.

   1. Формула линейного интерполирования.