2. Интерполирование табличных функций.

Постановка задачи интерполирования:

Для функции с таблицей

			…

требуется найти достаточно простую функцию , которая удовлетворяет соотношениям:

тогда функция называется интерполирующей функцией, а табличные аргументы в которых ее значения должны совпадать с значениями - узлами интерполирования.

Геометрический смысл :

Г рафик функции проходит через точки графика с абсциссами . Если интерполирующая функция найдена, то на будет иметь место равенство , которое в этом случае называется интерполяционной формулой.

точна в узлах . Возникает проблема оценки погрешности , если .

Наиболее часто интерполирующую функцию ищут в виде многочлена (полинома), тогда интерполирование называется полиномиальным, а соответствующий многочлен - интерполяционным.

Теорема: Пусть известна таблица

			…
			…

значений функции с n+1 аргументом. Тогда существует единственный многочлен степени n

,

удовлетворяющий равенствам .

3. Оценка погрешности полиномиальной интерполяции.

Пусть для заданной на табличной функции получена интерполяционная формула с интерполяционным многочленом . Если функция - достаточное число раз дифференцируем, то можно оценить погрешность формулы независимо от способа построения интерполяционного многочлена . При этом остаточный член и оценочная функция формулы определяются только функцией и выбором узлов интерполирования.

Введем многочлен (n+1) – ой степени, выраженной через узлы интерполирования:

Теорема: Пусть таблица значений функции

			…
			…

имеющей на непрерывные производные до (n+1) – го порядка включительно, и - ее интерполяционный многочлен. Тогда для любого существует точка , такая что:

Пусть . Тогда из соотношения получаем оценочную функцию интерполяционной формулы :

С помощью функции отыскивается абсолютная погрешность приближения к точному числу в точке : . Тогда имеем абсолютная погрешность на всем отрезке :

Замечание: В практических расчетах в качестве обычно берется некоторое число ɛ, удовлетворяющее неравенству:

при всех

Пример: Дана таблица значений функции с верными цифрами. Определить точность вычисления с помощью интерполяционного многочлена третьей степени

	0	0,5	1,0	1,5
	0	0,5	0,8	1,0

Решение.

Погрешность приближения оценивается числом:

, где

Имеем,

Т.о., интерполяционная формула обеспечивает две верные цифры после запятой, т.к. у табличных значений верных цифр мало, после вычисления точность результата мала.