Приклади розв’язання задач

Задача №1

Визначити, на скільки змінилася маса гелію, що міститься в балоні об’ємом 0,25 м³ під тиском 10⁶ Па при температурі 20⁰ С, якщо з балона було випущено частину маси газу, після чого тиск зменшився до 10⁵ Па, а температура зменшилася до 10⁰С.

Розв’язок.

Переведемо числові дані в одиниці системи СІ:

Т₁= 20⁰С=293 К,

До того, як частину газу було випущено з балона, його стан визначався такими параметрами: Тиск Р₁ , об’єм V, маса m₁, температура Т₁

Після того, як частину газу було випущено з балона, стан газу визначається параметрами: Р₂, V, m₂, T₂.

Запишемо рівняння Менделєєва-Клапейрона для першого і другого станів газу

P₁V=

,

де V - об’єм газу, який за умовою задачі залишається незмінним, М – молярна маса гелію. Визначимо з цих рівнянь m₁ і m₂ і знайдемо їх різницю

; ,

,

кг;

10

1.97. У балоне місткістю 15 л знаходиться азот під тиском100 кПа при температурі t₁ = 27 ⁰С . Після того, як з балона випустили азот масою 14 г, температура газу стала t₂ = 17 ⁰С. Визначите тиск азоту, що залишився в балоні.

1.98. Балон місткістю V = 20 л містить суміш водню і азоту при температурі 290 К і тиску 1 МПа. Визначити масу водню, якщо маса суміші 150 г.

1.99. Азот масою 7 г знаходиться під тиском р = 0,1 МПа і температурі Т₁ = 290 К.. Внаслідок ізобарного нагрівання азот зайняв об'єм V₂ = 10 л. Визначити: 1) об'єм V₁ газу до розширення; 2) температуру Т₂ газу після розширення; 3) щільність газу до і після розширення.

1.100. У судині місткістю 1 л знаходиться кисень масою 1 г. Визначити концентрацію молекул кисню в судині

1.101. У судині місткістю 5 л за нормальних умов знаходиться азот. Визначити: 1) кількість речовини ; 2) масу азоту; 3) концентрацію n його молекул в судині.

1.102. Середня квадратична швидкість деякого газу за нормальних умов 480 м/с. Скільки молекул містить 1 г цього газу?

1.103. У судині місткістю V = 0,3 л при температурі Т = 290 К знаходиться деякий газ. На скільки знизиться тиск газу в судині, якщо з нього із-за витоку вийде N = 10¹⁹ молекул?

1.104. Визначити тиск, що створюється газом на стінки судини, якщо його щільність 0,01 кг/м³, а середня квадратична швидкість молекул газу складає 480 м/с.

1.105. Визначити найбільш ймовірну швидкість молекул газу, щільність якого під тиском 40 кПа складає 0,35 кг/м3.

1.106. Визначити середню кінетичну енергію (ε₀) поступального руху молекул газу, який знаходиться під тиском 0,1 Па. Концентрація молекул газу 10¹³ см^-3

1.107 Визначите: 1) найбільш ймовірну ν_в; 2) середню арифметичну (ν) ;3) середню квадратичну (ν_кв) швидкість молекул азоту (N₂) при 27 ⁰С.

23

1.91.Один моль ідеального газу перевели із стану 1 в стан 2 ізохорично так, що його тиск зменшився в n = 1,5 раза, а потім ізобарично нагріли до початкової температури Т₁. При цьому газ виконав роботу А = 830 Дж. Визначити Т₁

1.92. Об’єм газу лінійно зріс від V₁ = 1 л до V₂ = 2 л, при цьому його тиск зменшився від р₁ = 2∙10⁵ Па до р₂ = 10⁵ Па. Яку кількість теплоти було підведено до газу в цьому процесі?

1.93.Один моль ідеального газу бере участь у циклі 1-2-3-4-1 (рис.2). Визначити роботу, виконану газом, якщо температури газу в станах 1 і 3 дорівнюють Т₁ і Т₃ відповідно, а температури в станах 2 і 4 однакові.

(Рис 2)

1.94.Температура газів, які утворюються при згорянні палива в циліндрах двигуна автомобіля, дорівнює Т₁ = 1300 К, температура вихлопних газів Т₂ = 550 К. Витрата палива на шляху s = 100 км при швидкості v = 90 км/год дорівнює V = 10^-2 м³, питома теплота згоряння палива q = 3,2∙10¹⁰ Дж/м³. Яку потужність міг би розвинути двигун, коли б він був ідеальною тепловою машиною, що працює з максимально можливим коефіцієнтом корисної дії?

1.95. У закрутій посудині місткістю 20 л перебувають водень масою 6 г і гелій масою 12г. Визначити: 1) тиск; 2) молярну масу газової суміші в посудині, якщо температура суміші Т = 300 К.

1.96. Визначити щільність суміші газів водню масою m₁ = 8 і кисню m₂ = 64 г масою при температурі Т = 290 К і при тиску 0,1 МПа. Гази вважати за ідеальні

22

Задача №2.

Визначити середню квадратичну швидкість молекул ідеального газу, густина якого під тиском Р = 1,6 Па

складає кг/м³.

Розв’язок

Середня квадратична швидкість молекул ідеального газу визначається згідно з формулою

(1)

де m₀ – маса однієї молекули. Оскільки густина газу

,

де m – маса газу, М –його об’єм, N – число всіх молекул, то (2)

Якщо виразимо n з рівняння P=nkT (3)

і підставимо (2) і в (1), то одержимо

; ( м/с)

.

11

Задача №3

Визначити кількість теплоти, поглинає водень масою 0,2 кг при нагріванні його від температури t₁=0⁰C до температури t₂ = 100⁰C при сталому тиску. Знайти також зміну внутрішньої енергії газу і виконану їм роботу.

Розв'язання.

Кількість теплоти, що поглинає газ при ізобаричному нагріванні, визначається за формулою (1), де С_р – молярна теплоємність при сталому тиску. Як відомо, (2), де «і» - число ступенів свободи. Оскільки молекула водню двохатомна, то i = 5. Підставляючи вираз (2) в (1) одержимо ,

(кДж).

Зміна внутрішньої енергії ідеального газу визначається за формулою (кДж)

Задача №4.

Нагрівач теплової машини, що працює за циклом Карно, має температуру t₁= 200⁰C. Визначити температуру Т₂ холодильника, якщо при одержанні кількості теплоти 1 кДж машина виконує роботу А = 0,4 кДж?

Розв'язання.

Термічний к.к.д. машини, що працює за циклом Карно . Звідки Т₂=Т₁(1- )

12

1.83. Визначити кінетичну енергію хаотичного руху молекул водню, який перебуває в балоні об’ємом 10 л під тиском 5,0 атм.

1.84 Густина внутрішньої енергії аргону дорівнює 1,5 МДж/м³. Який тиск чинить аргон на стінки балона, в якому він перебуває?

1.85.Внаслідок збільшення термодинамічної температури повітря втричі його тиск збільшився на 50 %. У скільки разів при цьому змінився його об’єм?

1.86.Скільки потрібно часу t, щоб поверхню скла нанести шар срібла товщиною d = 5∙10^-6 м, скориставшись для цього атомарним пучком з концентрацією атомів срібла n = 10¹⁸ м^-3, які рухаються швидкістю V = 390 м/с? молярна маса срібла М = 108∙10^-3 кг/моль.

1.87.Скільки молекул газу міститься в балоні місткістю V = 60 л, при температурі Т = 300 К і тиску р = 5∙10³ Н/м²?

1.88.Визначити густину суміші, яка містить m₁ = 4 г водню і m₂ = 32 г кисню при температурі Т = 280 К і загальному тиску р = 10⁵ Па.

1.89.Балон з киснем під тиском р₁ = 10⁶ Па стоїть у приміщенні при температурі Т₁ = 300 К. Потім балон винесли на вулицю і підключили до газозварювального апарата. Яку частину кисню витратили при зварюванні, якщо після закінчення роботи тиск у балоні дорівнює р₂ = 5∙10⁵ Па, а температура на вулиці Т₂ = 250 К?

1 .90 З газом проведено замкнутий процес (рис.1) Криві 2-3 і 4-1 – ізотерми, а продовження ділянок 1-2 і 3-4 проходять через початок координат. Зобразити цей процес на графіку в координатах Т, V, а також знайти об’єм газу V₁, якщо об’єми V₂, V₃ i V₄ відомі.

(Рис.1)

21

ідеального двигуна і температуру холодильника, якщо за рахунок кожного кілоджоуля теплоти, одержаного від нагрівника, двигун виконує роботк 300 Дж.

1.75.Максимальний ККД теплової машини 60%. Визначити температура нагрівача, якщо температура холодильника 300К.

1.76. Із склянки діаметром 5,0 см за 10 діб випарувалась вода масою 50 г. Яка середня інтенсивність випарування? (Інтенсивність випарування – величина, чисельно рівна кількості молекул, які залишають одиницю площі поверхні рідини за одиницю часу).

1.77. В озеро площею 20 км², що має середню глибину 5 м, кинули кристалик кухонної солі масою 10 мг. Скільки іонів натрію виявилося б у наперстку обємом 2 см³, якби ним зачерпнути воду з озера?

1.78 Визначити відносну зміну середньої кінетичної енергії хаотичного руху молекул газу внаслідок зміни його температури від 227⁰С до 27⁰С.

1.79 Повітря – суміш газів, основні компоненти якої азот N₂, кисень О_2,, аргон Ar, вуглекислий газ СО₂. Визначити середню квадратичну швидкість ХПР молекул газів – основних компонентів атмосфери. Розглядаючи повітря як однокомпонентний газ з молярною масою 29г/моль, визначити середню квадратичну швидкість ХПР молекул такого газу. Температура повітря нормальна.

1.80.Скільки молекул містить газ масою 40 г, якщо при температурі 373⁰С середня квадратична швидкість ХПР його молекул становить близько 2,0 км/с? Який це газ?

1.81.Яка густина газу при нормальному тиску, якщо середня квадратична швидкість ХПР його молекул 484 м/с?

1.82 Яка середня квадратична швидкість ХПР молекул газу, якщо в балоні об’ємом 20 л він створює тиск 15 атм, маючи масу 360 г?

20

Термічний к.к.д. теплової машини становить відношення кількості теплоти, що перетворено на роботу А, до кількості теплоти, що отримує робоче тіло теплової машини від нагрівача Q₁

, , = 284 (К)

Задачі для самостійного розв’язання:

1.1 Визначити молярну масу води. Скільки молів молекул води міститься в 1 кг води? Скільки молекул води міститься в 1 м³ води? Розрахувати масу і об'єм однієї молекули води.

1.2 Який об'єм займуть 10^-15 молів скляних кульок радіусом 0,5 см при їх щільній упаковці?

1.3 Радонові ванни містять 1,8·10⁶ атомів радону на 1 л води. Обчислити на скільки молекул води припадає один атом радону

1.4 При виготовленні астрономічного дзеркала на поверхню площею S = 1 м² напилили m = 0,1 г срібла. Оцініть розмір d атомів срібла, якщо в дзеркальному покритті N= 100 атомних шарів

1.5 Яка товщина газової плівки на поверхні води, якщо газ масою 1,6 г утворив пляму площею 200 м²? Який висновок можна звідси зробити про розміри молекул

1.6 У скільки разів змінилася б кількість речовин в балоні, якби в результаті електричного розряду кисень О₂, що знаходиться в балоні, перетворився на озон О₃?

1.7. Скільки молекул міститься в 1 г вуглеводного газу (СО₂)?

1.8. Скільки молекул міститься в 5 г водню (Н₂)?

1.9 Через мікроскопічні щілини з балона зі стисненим повітрям, що секунди «ідуть» 5 мільярдів молекул. За який час маса балона з повітрям зменшиться на 1 мг?

13

1.10 Скільки іонів натрію міститься в пачці кухонної солі (NaCl) масою 500 г?

1.11 Яка кількість речовини міститься в 39 г заліза?

1.12 Яка кількість речовини (SiO₂) у піщинці масою 20 мг?

1.13 Де більше атомів кисню : в 10 моль води чи в 5 моль кисню? У скільки разів?

1.14. Де більше молекул: у 5 г водню чи в 10 г води? У скільки разів більше?

1.15 Який об’єм займають 4 моль алюмінію?

1.16. Чи помістяться в трилітровій банці 50 моль ртуті?

1.17. В якому об’ємі води міститься 10¹⁸ молекул (вода знаходиться в рідкому стані)?

1.18. Де більше молекул: у склянці води чи в повітрі всередині порожньої бочки? Об’єм склянки 200 см³, об’єм бочки 0,4 м³, повітря перебуває за нормальних умов.

1.19. При якому об’ємі спортивного залу кількість молекул повітря в цьому залі в 100 разів перевищує кількість атомів у залізній штанзі масою 100 кг?

1.20. Порівняйте кількість речовини в двох кубиках однакового об’єму: залізному й алюмінієвому.

1.21. У гальванічній ванні корпуси годинників покривають шаром золота завтовшки 24 мкм. Скільки атомів золота в покритті, якщо площа поверхні корпуса годинника дорівнює 10 см²?

1.22. Якою була б відносна атомна маса фтору, якби за атомну одиницю маси прийняли масу молекули водню?

1.23. В якій із крапель – води чи ртуті – кількість речовини більша? У скільки разів? Розгляньте випадки, коли краплі мають: а) однакові маси; б) однакові об’єми.

1.24. При виготовленні інтегральної мікросхеми в кристал надчистого кремнію масою 1 мг уводять галій масою 10^-6 г. Скільки атомів кремнію припадає на один атом галію.

випаровування постійна, а товщина молекулярного шару дорівнює 1,5∙10^-10 м.

14

витрачено 5 кДж теплоти. Визначити зміну внутрішньої енергії повітря, молярна маса якого 0,029 кг/моль

1.67. 0,2 кг азоту нагрівають при сталому тиску від 20 до 80⁰С. Яку кількість теплоти поглинається при цьому. Яку роботу виконує газ? Питома теплоємність азоту при сталому тиску С_р= 10⁸Дж/кг ⁰К

1.68. Для ізобарного нагрівання газу, кількість речовини якого 400 моль, на 300⁰К йому передали кількість теплоти 5,4 МДж. Визначити роботу газу і приріст його внутрішньої енергії.

1.69.Тепловий двигун отримує від нагрівача за одну секунду 7200 кДж теплоти і віддає холодильнику 5600 кДж. Знайти ККД теплового двигуна.

1.70. Ідеальна теплова машина отримує від нагрівача, температура якого складає 500 ⁰К, за один цикл 3360 Дж теплоти. Знайти кількість теплоти, яку віддаєтсяь за один цикл холодильнику, температура якого 400 ⁰К. Знайти роботу машини за один цикл.

1.71.Яке максимально теоретично можливе значення ККД може мати турбіна, в якій використовується пар з температурою 600 ⁰С, а відведення тепла здійснюється за вдяки річній воді, яка забезпечує холодильнику температуру 27 ⁰С? Яким чином завищують ККД теплових машин?

1.72. В паровій турбіні витрачається дизельне паливо масою 0,35 кг на 1 кВт год потужності. Температура пара, який поступає до турбіни 250⁰С, температура холодильника 30⁰С. Підрахуйте фактичний ККД турбіни і порівняйте його з ККД ідеальної теплової машини, яка працює при тих же умовах.

1.73. Газ одержав від нагрівника 5 кДж теплоти. Яку кількість теплоти віддано холодильнику, якщо ККД двигуна 35 %?

1.74. Температура нагрівника 227⁰С. Визначити ККД

19

1.56 Чому питома теплоємність газу при постійному тиску помітно більша, ніж питома теплоємність при постійному об’ємі? Чому для рідин і твердих тіл обидві ці величини практично однакові?

1.57. Яку кількість теплоти Q необхідно передати водню масою m = 12 г, щоб нагріти його на ΔТ = 50 К: а) при постійному тиску; б) при постійному об’ємі?

1.58. При ізобарному нагріванні об’єм гелію збільшився в 3 рази. Яку роботу виконав газ? Яка кількість теплоти йому надано? Маса гелію 12 г, початкова температура -123 ⁰С.

1.59. Тепловий двигун, що працює при температурі нагрівача 527 ⁰С і температурі холодильника 17 ⁰С, має ККД 30%. У скільки разів ККД цього двигуна менший, ніж ККД ідеального теплового двигуна при тих же температурах нагрівача і холодильника?

1.60. На теплоході встановлений дизельний двигун потужністю 80 кВт із ККД 30%. На скільки кілометрів шляху йому вистачить 1 т дизельного палива при швидкості руху 20 км/год?

1.61.Яку роботу виконує газ, розширюючись ізобарично під тиском 1,4 10⁵ Па від 2 л до 3 л?

1.62. Обчислити зміну внутрішньої енергії 2 г водню при зміні температури на 100⁰С

1.63.У циліндрі під тиском 1,4 10⁵ Па міститься 0,2 м³ повітря при 0⁰С. Яка буде виконана робота при ізобаричному нагріванні газу на 20⁰С?

1.64.Температура нагрівника ідеальної теплової машини становить 580 К. ККД її дорівнює 50%. Знайти температуру холодильника .

1.65.Для ізобарного нагрівання 400 моль газу на 300 К йому надали кількість теплоти 1,8 МДж. Визначити зміну внутрішньої енергії газу та виконану роботу.

1.66.У циліндрі під поршнем знаходиться 1,25 кг повітря. Для його нагрівання на 4⁰С при сталому тиску було

18

1.25 У циліндричній склянці діаметром 7 см знаходиться вода масою 200 г. Оцініть кількість молекулярних шарів, які «ідуть» з поверхні води щосекунди, якщо уся вода випаровується за 10 діб. Вважайте, що швидкість випаровування постійна, а товщина молекулярного шару дорівнює 1,5∙10^-10 м.

1.26. На скільки відсотків збільшився тиск газу в закритому балоні, що внесли з вулиці в кімнату? Температура зовнішнього повітря дорівнює -23 ⁰С, температура в кімнаті 17 ⁰С.

1.27. Тиск газу в балоні при 27 ⁰С дорівнює 240 кПа. Яким стане тиск після нагрівання газу на 100 ⁰С? Охолоджування на 50 ⁰С?

1.28 У балоні об’ємом 10 л знаходиться повітря при тиску 1,5 МПа. Яким стане тиск газу, якщо відкрити кран, що з’єднує цей балон з іншим балоном об’ємом 40 л, в якому повітря немає? Температура газу не змінюється.

1.29. Газ при температурі 37 ⁰С і тиску 1,5 МПа має об’єм 10 л. Який об’єм цієї маси газу за нормальних умов?

1.30. При стисканні повітря в циліндрі дизельного двигуна об’єм повітря зменшується в 15 разів, а температура підвищується від 47 ⁰С до 620 ⁰С. Який тиск повітря наприкінці стискання, якщо на початку стискання тиск повітря дорівнював 100 кПа?

1.31. Яка кількість речовини в газі, якщо при температурі -13 ⁰С і тиску 500 кПа об’єм газу дорівнює 30 л?

1.32. Який тиск повинен витримувати газовий балон об’ємом 50 л, щоб при температурі 25 ⁰С у ньому можна було зберігати 2 кг метану (СН₄)?

1.33. Після збільшення абсолютної температури в 1,2 раза об’єм газу збільшився на 0,6 л при постійному тиску. Знайдіть початковий об’єм газу.

1.34. Чи змінювався тиск газу, що знаходиться в непроникній еластичній оболонці, якщо при нагріванні газу від 250 К до 500 К його об’єм зріс у 1,5 раза?

15

1.35. Після підвищення температури на 9 К тиск газу в закритому балоні збільшився на 3%. Якою була початкова температура?

1.36. Після збільшення абсолютної температури в 1,3 раза тиск газу в закритому балоні збільшився на 150 кПа. Яким був початковий тиск у балоні?

1.37. Чому дорівнює тиск газу, якщо його густина 2 кг/м³, а середня квадратична швидкість його молекул 600 м/с?

1.38. Молекули якого газу при 20 ⁰С мають середню квадратичну швидкість 510 м/с?

1.39. У балон об’ємом 20 л, що знаходиться на вагах, накачали газ. Яка середня квадратична швидкість молекул газу, якщо манометр показав 4,9 МПа, а показання вагів збільшилося на 1 кг?

1.40. У скільки разів відрізняються середні квадратичні швидкості молекул кисню й азоту в вашій кімнаті?

1.41. У балоні А знаходиться кисень масою 8 г, а в такому ж балоні Б – водень масою 0,5 г. Порівняйте тиски в балонах, якщо у молекул кисню й водню однакові: а) середні квадратичні швидкості; б) середні кінетичні енергії.

1.42 Оцініть середню відстань між молекулами повітря в ясний літній день (при температурі 27 ⁰С і тиску 100 кПа). У скільки разів ця відстань перевищує розміри молекул (приблизно 3∙10^-10 м)?

1.43. При підвищенні абсолютної температури азоту в 2 рази кожна друга молекула дисоціювала на атоми. У скільки разів змінився тиск газу?

1.44. Один моль пари й один моль гелію мають однакову температуру. Який з газів має більшу внутрішню енергію? У скільки разів?

1.45. Один грам пари ртуті й один грам гелію мають однакову температуру. Який з газів має більшу внутрішню енергію? У скільки разів?

16

1.46. Яка внутрішня енергія аргону в балоні об’ємом 50 л, якщо тиск газу дорівнює 1 МПа?

1.47. При зменшенні об’єму одноатомного газу в 4 рази тиск цього газу збільшився в 5 разів. У скільки разів змінилася внутрішня енергія газу?

1.48. У надувній кульці і сталевому балоні містяться однакові маси повітря. В якому випадку для підвищення температури повітря на 1 К буде потрібна більша кількість теплоти?

1.49. Після вмикання опалення повітря в кімнаті нагрілося від температури 7 ⁰С до температури 27 ⁰С. У скільки разів змінилася внутрішня енергія повітря, що міститься в кімнаті?

1.50. Балон з гелієм внесли з морозу в тепле приміщення. Клапан на балоні автоматично відкривається, коли тиск усередині перевищує зовнішній на 6 атм. Уперше він відкрився при температурі гелію -3 ⁰С. У скільки разів зміниться після цього внутрішня енергія гелію в балоні, коли його температура досягне 27 ⁰С?

1.51. У вертикальному циліндрі під поршнем знаходиться повітря масою 29 г. яку роботу виконує повітря при підвищенні температури на 100 К?

1.52. Яку роботу виконує водень масою 6 г при ізобарному підвищенні температури на 60К?

1.53. Яку роботу виконає газ при ізобарному нагріванні на 50 К, якщо кількість речовини в газі дорівнює 5 моль?

1.54. При нагріванні повітря в циліндрі поршень масою m = 5 кг і площею S = 50 см² перемістився на l = 15 см. Яку роботу виконало повітря, якщо поршень переміщався: а) горизонтально; б) вертикально вгору; в) вертикально вниз?

1.55. Одноатомному газу (υ=2 моль) надано кількість теплоти 1,2 кДж. При цьому газ виконав роботу 600 Дж. На скільки змінилася температура газу?

17