Лекция 3
3. Признаки монотонности функции одной переменной
Определение 1.
Функция
является строго
возрастающей
(строго
убывающей)
на интервале
,
если при всех
таких, что
выполняется неравенство
(соответственно
).
Определение 2.
Функция
является постоянной
на интервале
,
если при всех
выполняется
(
– некоторое число).
Теорема 1 (Необходимый признак монотонности, постоянства функции). Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда:
1)
если функция
строго возрастает
(строго убывает) на интервале
,
то при всех
:
(соответственно
);
2)
если функция
постоянна на
интервале
(
,
),
то при всех
:
.
Доказательство. Рассмотрим строго возрастающую на интервале функцию . Покажем, что при всех : .
Составим
для функции
приращение
|
|
таким образом, чтобы точка
.
Приращение аргумента
или
(рассмотрим по отдельности эти два
случая).
а) Если
,
то
.
Так как функция
строго возрастает на
,
то
и производная
.
б) Если
,
то
.
Функция
строго возрастает на
и
.
Тогда производная
.
В
двух случаях относительно знаков
приращения
производная
строго положительна, что доказывает
теорему для случая строго возрастающей
функции. Доказательство теоремы для
строго убывающей функции проводится
аналогично.
Если
функция
является постоянной
на
:
(
–
некоторое число), то по правилу
дифференцирования
.
Приведенная
теорема дает следующую геометрическую
трактовку. Если дифференцируемая функция
строго возрастает (строго убывает) на
интервале, то касательная, проведенная
в любой точке графика функции, наклонена
к положительному направлению оси абсцисс
под острым углом
(соответственно под тупым углом
).
Теорема 2 (Достаточный признак монотонности, постоянства функции). Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда:
1) если при всех : (соответственно ), то функция строго возрастает (строго убывает) на интервале ;
2) если при всех : , то функция постоянна на интервале ( ).
Доказательство теоремы проводится таким же способом, как доказательство теоремы 1.
Пример. Найти для функции
интервалы монотонности (интервалы возрастания и убывания).
Решение. Для функции находим производную
.
Воспользуемся теоремой 2. Определим интервалы монотонности, на каждом из которых производная больше нуля ( ) или меньше нуля ( ). Чтобы найти эти интервалы, необходимо на числовую ось нанести точки, в которых производная обращается в нуль (так называемые нули производной). Находим эти точки:
,
.
Вся числовая ось разобьется на некоторое количество интервалов, на каждом из которых производная обязательно не меняет свой знак ( или ). В нашем случае это интервалы:
,
,
.
Это и будут интервалы монотонности. Чтобы узнать, возрастает или убывает функция на данном интервале, достаточно выяснить, какой знак имеет производная в какой-либо точке этого интервала.
|
Знаки функции
исследуем методом интервалов:
,
значит, при
и функция монотонно убывает,
,
значит, при
и функция монотонно возрастает,
,
значит, при
и функция монотонно убывает.