10. Наклонные асимптоты графика функции

Определение 1. Прямая ( , ) называется правой наклонной асимптотой к графику функции , если расстояние от этой прямой до графика функции стремится к нулю при .

Определение 2. Прямая ( , ) называется левой наклонной асимптотой к графику функции , если расстояние от этой прямой до графика функции стремится к нулю при .

Согласно определению, расстояние от наклонной асимптоты до графика функции должно стремиться к нулю при удалении точек графика этой функции от начала координат.

В общем случае, для одной и той же функции правая и левая наклонные асимптоты различаются друг от друга. Например, на рис. 3.1 изображен график некоторой функции , у которой правой наклонной асимптотой является прямая , а левой наклонной асимптотой – прямая .

Рис. 3.1

Встречается большое количество функций, у которых правая и левая наклонная асимптоты совпадают, то есть . В этом случае говорят, что график функции имеет наклонную асимптоту .

Например, на рис. 3.2 изображен график функции , у которой правой и левой наклонной асимптотой является одна и та же прямая .

Рис. 3.2

Выясним, каким образом находятся уравнения правой и левой наклонных асимптот к графику функции.

Теорема 1. Прямая ( , ) является правой наклонной асимптотой к графику функции только в том случае, если коэффициенты удовлетворяют условиям

, . (10.1)

Теорема 2. Прямая ( , ) является левой наклонной асимптотой к графику функции только в том случае, если коэффициенты удовлетворяют условиям

, . (10.2)

В случае, если график функции имеет наклонную асимптоту , то справедливы формулы

, . (10.3)

Пример 1. Написать уравнения правой и левой наклонных асимптот к графику линейной функции .

Решение. Вычисляем коэффициенты в уравнении правой наклонной асимптоты:

,

.

Таким образом, уравнение правой наклонной асимптоты имеет вид

,

то есть правая наклонная асимптота совпадает с графиком самой функции.

Аналогично можно показать, что уравнение левой наклонной асимптоты графику линейной функции имеет тот же вид .

Можно показать, что функция , являющаяся многочленом -ой степени:

,

не имеет наклонных асимптот. Например, если , то

,

то есть коэффициент не является конечным числом.

Дробно-рациональная функция

,

где есть многочлены степеней соответственно относительно переменной , имеет правую и левую наклонные асимптоты, совпадающие друг с другом (в этом случае имеется общая наклонная асимптота).

Пример 2. Написать уравнение наклонной асимптоты к графику функции . Построить схематично график функции (по знаниям асимптот).

Решение. 1) Укажем прежде всего область определения функции:

.

Точкой разрыва функции является точка: (знаменатель дроби обращается в нуль). Находим односторонние пределы в этой точке:

,

.

Проведенные вычисления показывают, что – точка разрыва второго рода, а прямая – вертикальная асимптота.

2) Воспользуемся формулами (4.3) для определения коэффициентов :

, .

Значит, прямая – наклонная асимптота к графику функции. Схематично построенный график по асимптотам представлен на рис. 4.1.

Рис. 4.1