2. Замкнутые множества в топологических

пространствах

В данном параграфе будут изучены множества, двойственные по отношению к открытым.

Множество в топологическом пространстве называется замкнутым, если его дополнение открыто. Примерами замкнутых множеств в метрических пространствах являются замкнутые шары

.

Поскольку и , то непосредственно из определений вытекает, что объединение конечного семейства и пересечение любого семейства замкнутых множеств являются замкнутыми множествами. Отсюда, в частности, следует, что для любого множества в существует наименьшее замкнутое множество , содержащее . Множество , являющееся пересечением всех замкнутых множеств, содержащих , называется замыканием множества . Следующая лемма немедленно вытекает из определения:

Лемма 2.1. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда .

Процесс перехода от множества к его замыканию называется операцией замыкания. Множество называется открыто-замкнутым, если оно одновременно и открыто и замкнуто. Очевидно, в любом топологическом пространстве пустое множество и само пространство - это открыто-замкнутые множества. Ясно, что свойство множеств быть открыто-замкнутыми сохраняется при переходе к конечным объединениям и пересечениям.

В следующей лемме собраны основные свойства операции замыкания в топологическом пространстве.

Лемма 2.2. Пусть - топологическое пространство. Следующие утверждения верны:

1) для любого множества в ;

2) если , то ;

3) для любого множества в , где ;

4) для любых множеств и в .

Доказательство. Первые три свойства очевидным образом вытекают из определения операции замыкания. Установим последнее равенство. Так как и , то . Следовательно,

.

Обратно, так как и , то

. #

Перейдем теперь к описанию операции замыкания. Пусть - некоторое подмножество топологического пространства . Точка называется точкой прикосновения множества , если каждая окрестность этой точки имеет непустое пересечение с множеством . Отметим, что при определении точек прикосновения можно ограничиться только базисами фильтров окрестностей точек (и притом любыми), а не всеми фильтрами окрестностей . Именно так и поступают при изучении метрических пространств, ограничиваясь при определении точек прикосновения базисами .

Теорема 2.1. Пусть - подмножество топологического пространства . Для того чтобы точка , необходимо и достаточно, чтобы была точкой прикосновения для множества .

Доказательство. Необходимость. Пусть , но не является точкой прикосновения для множества . Тогда существует такая окрестность точки , что . По определению окрестности найдется такое открытое множество , что . Так как , то . Множество замкнуто, поэтому . Но , так что . Полученное противоречие завершает доказательство необходимости.

Достаточность. Пусть - точка прикосновения для множества и - замкнутое множество, содержащее . Так как множество открыто, то по лемме 1.1 оно является окрестностью каждой своей точки. Если бы , то было бы окрестностью точки , имеющей пустое пересечение с множеством , а значит и с . Это означало бы, что не является точкой прикосновения для множества . Следовательно, . Итак, точка принадлежит любому замкнутому множеству, содержащему , т.е. . #

Дадим теперь характеристику замыкания множества в предельной форме. В курсах анализа предел является одним из основных инструментов для исследования. Важная роль отводится ему и в теории топологических пространств. Правда, если при изучении метрических соотношений можно обойтись лишь пределами последовательностей, то в общих топологических пространствах этого аппарата уже недостаточно и приходится опираться на более гибкий - предел направленностей. Дадим необходимые определения.

Частично упорядоченным множеством называется пара , где - некоторое непустое множество, а - отношение частичного порядка, заданное на , т.е. бинарное отношение, обладающее свойством транзитивности:

1) если и , то .

Частично упорядоченное множество называется направленным вверх, если для любых точек найдется такая точка , что и .

Пусть - направленное вверх частично упорядоченное множество и - некоторое непустое множество. Направленностью на называется всякая функция . Точки множества обычно называют индексами, вместо пишут , а саму направленность часто записывают в виде .

Замечание. В дальнейшем мы будем рассматривать направленности со значениями в топологических пространствах, т.е. будем считать некоторым топологическим пространством. Отметим, что обычные последовательности точек топологического пространства являются также и направленностями, у которых в качестве множества индексов выступает множество натуральных чисел с естественным отношением порядка на нем. По этой причине направленности также называют еще обобщенными последовательностями или сетями.

Пусть - топологическое пространство. Точка называется пределом направленности , если для любой окрестности точки найдется такой индекс , что для всех . Если - предел направленности , то это символически записывают в виде: или . Отметим, что в определении предела направленности можно ограничиться базисом фильтра окрестностей точки и притом любым.

Понятие предела позволяет по-новому описать замыкание множества:

Теорема 2.2. Пусть - подмножество топологического пространства . Для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая направленность , что .

Доказательство. Необходимость. Пусть и - некоторый базис фильтра окрестностей точки . Для множеств и из положим тогда и только тогда, когда , т.е. упорядочим множество по антивключению. Ясно, что - это частично упорядоченное множество. Если , то - это окрестность точки , поэтому найдется такое , что . Это означает, что и , так что множество направлено вверх. Далее, так как , то для любого множества найдется точка . Следовательно, мы имеем направленность . Осталось показать, что эта направленность сходится к точке . Действительно, пусть - некоторая окрестность точки . Понекоторая окрестность точки о она сходится к точке множества:

остями.а являются также и сетями, у которых в качестве множеств определению базиса фильтра окрестностей найдется такое множество , что . Тогда для всех , т.е. для всех . Это и означает, что .

Достаточность. Пусть , и - некоторая окрестность точки . По определению предела направленности найдется такой индекс , что . Тогда и, следовательно, . #

Как известно, в метрическом пространстве замыкание любого множества полностью описывается с помощью последовательностей. Следующий пример показывает, что в топологических пространствах одними только последовательностями уже не обойтись.

Пример 2.1. Пусть - произвольное несчетное множество (например, отрезок вещественной прямой), наделенное топологией , состоящей из , пустого множества и всех множеств в , чьи дополнения не более чем счетны. Пусть и . Тогда , но, очевидно, не существует такой последовательности , что .