6. Достижимые топологические пространства
Аксиомы, заложенные в основу понятия топологии, являются настолько общими, что им удовлетворяют и весьма «плохо устроенные» топологические пространства. Одним из средств, позволяющих избежать «неправильных» с точки зрения классического анализа ситуаций, является введение добавочных ограничений на классы рассматриваемых пространств. В данном и некоторых последующих параграфах будут введены и изучены аксиомы, носящие отделимостный характер. Начнем с изучения одной из самых простых аксиом отделимости.
Топологическое
пространство
называется достижимым
(или
пространством),
если для любых двух различных точек
существует окрестность точки
,
не содержащая точку
,
и окрестность точки
,
не содержащая точку
.
Про
достижимые топологические пространства
говорят, что они обладают первой аксиомой
отделимости.
Отметим, что любое бесконечное множество , наделенное топологией Зарисского (см. пример 1.3), является достижимым топологическим пространством. Нетрудно показать, что топология Зарисского является слабейшей среди всех достижимых топологий, заданных на . А вот множество действительных чисел, наделенное правой топологией (см. пример 1.5), не является достижимым топологическим пространством. Имеет место следующая характеристика достижимых пространств:
Теорема 6.1. Пусть - топологическое пространство. Следующие утверждения эквивалентны:
1) - достижимое топологическое пространство;
2) любое одноточечное множество в замкнуто;
3)
пересечение всех окрестностей любой
точки
совпадает с одноточечным множеством
.
Доказательство.
.
Если
и
,
то по условию существует такая окрестность
точки
,
что
.
Это означает, что
не является точкой прикосновения для
одноточечного множества
.
Поэтому по теореме 2.1
.
.
Если
и
,
то по условию множество
является окрестностью точки
,
не содержащей точку
.
Следовательно, пересечение всех
окрестностей любой точки
совпадает с одноточечным множеством
.
.
Пусть
и
.
По условию точка
не входит в пересечение всех окрестностей
точки
,
поэтому найдется такая окрестность
точки
,
что
.
Следовательно,
является достижимым топологическим
пространством. #
Следствие. В достижимом топологическом пространстве любое конечное множество является замкнутым.
Рассмотрим подпространства и тихоновские произведения достижимых топологических пространств.
Лемма 6.1. Любое подпространство достижимого топологического пространства является достижимым.
Доказательство. Данное утверждение очевидным образом вытекает из того, что окрестности точек в подпространстве являются следами на окрестностей этих же точек в пространстве . #
Лемма 6.2. Произведение семейства топологических пространств достижимо тогда и только тогда, когда каждое пространство достижимо.
Доказательство.
Предположим сначала, что
достижимо. Пусть
и точки
таковы, что
.
Для каждого индекса
,
,
выберем по некоторой точке
и положим
и
,
где
для любого индекса
.
Тогда
,
поэтому по условию достижимости
тихоновской топологии на
найдутся такие индексы
и окрестности
точек
в
,
что
,
где
.
Так как
для любого индекса
,
то
при всех
,
поэтому
и, значит,
.
Это доказывает достижимость пространства
.
Обратно,
пусть теперь все пространства
достижимы,
и
.
Тогда найдется такой индекс
,
что
.
Выберем окрестность
точки
в пространстве
так, чтобы
.
Тогда
- это окрестность точки
в
и
.
Следовательно, пространство
достижимое. #