1.2.2. Линеаризация. Волновое уравнение.

Условия линеаризации означают, что параметры среды, возмущённые звуковой волной, мало отличаются от параметров невозмущённой среды :

Третье условие, записанное в форме:

сводится к условию .

Все три условия линеаризации хорошо выполняются за исключением отдельных случаев, когда звуковое давление соизмеримо с атмосферным или гидростатическим (мощные излучатели).

Система линейных уравнений акустики имеет вид:

(1.5.)

Решение системы (1.5.) сводят к решению одного уравнения более высокого порядка, используя представление векторного поля через градиент скалярного поля:

, где - потенциал скорости. (1.6.)

волновое уравнение для потенциала скорости (1.7.)

Для гармонических процессов

- уравнение Гельмгольца. (1.8.)

, - длина волны и волновое число.

, (1.9.)

Иногда волновое уравнение записывается в форме:



 - оператор Даламбера.

Таким образом, решение системы уравнений (1.5.) сведено к решению уравнения Гельмгольца (1.8.) (или в более общем случае к решению уравнения (1.7.)), а затем по формулам (1.9.) находятся поле давления и векторное поле колебательной скорости .

1.2.3. Обобщение на вязкие среды.

В вязкой среде скалярное поле давления дополняется тензорным полем вязких напряжений :

- символ Кронекера,

(1.10.)

- первая (объёмная) и вторая (сдвиговая) вязкости.

Выражение (1.10.) является полным аналогом закона Гука в тензорной форме:

- постоянные Лямэ и модуль всестороннего сжатия (объёмный модуль).

Учёт потерь в твёрдом теле сводится к введению комплексных модулей упругости:

, тогда мнимые добавки формально являются аналогом коэффициентов вязкости, а именно , т.е. движение вязкой жидкости, в которой появляется сдвиговая упругость, аналогично поведению твёрдого тела.

Уравнение движения имеет вид:

(1.11.)

и называется уравнением Навье-Стокса.

Для потенциального поля скоростей

и уравнение движения принимает вид:

(1.12.)

После линеаризации уравнения (1.12.) векторное поле скорости опять допускает представление через градиент скалярного поля , а для потенциала можно получить уравнение:

(1.13.)

При гармонической зависимости от времени уравнение (1.13.) сводится к уравнению Гельмгольца:

В этом уравнении волновое число оказывается комплексным и допускает представление:

- коэффициент затухания звука в вязкой среде (1.14.)

Таким образом, формальный учёт вязкости сводится к тому, что в уравнении Гельмгольца достаточно обобщить волновое число по формуле (1.14.).

Условием применимости такого подхода является неравенство , которое обычно хорошо выполняется.

Формальный учёт потерь на теплопроводность среды сводится к обобщению вида (Стокс):

, где - коэффициент теплопроводности.

1.2.4. Основные уравнения акустики в твёрдых телах.

В отличие от жидких и газообразных сред, в которых силовое поле есть скалярное поле давления, а все деформации есть деформации всестороннего сжатия-растяжения (объёмные деформации), в твёрдом теле силовое поле и поле деформаций носят более сложную тензорную природу и описываются соответственно тензором напряжений и тензором деформаций. Связь между этими тензорами описывается законом Гука.

Произвольное движение твёрдого тела описывается вектором смещения , но в акустике деформируемого твёрдого тела рассматривают только такие движения, которые связаны с изменением расстояния между двумя соседними точками .

Произвольная линейная зависимость между векторами и описывается с помощью компонент производного тензора , имеющего в общем случае девять компонент: .

Тензор деформаций определяется как симметричная часть производного тензора

, тогда как антисимметричная его часть определяет вихревой вектор

,

,

причём такое представление единственно:

.

Диагональные компоненты тензора деформаций характеризуют деформации сжатия-растяжения вдоль соответствующих осей, симметричные недиагональные компоненты – деформации искажения формы, а вихревой вектор характеризует вращение элементарного объёма твёрдого тела вокруг мгновенной оси.

- объёмная деформация.

В качестве простейшего примера рассмотрим деформацию чистого сдвига (плоскую), которая описывается следующим образом:

,

,

, , .

Сама деформация чистого сдвига распадается на две составляющие: деформацию искажения квадрата в ромб без изменения площади и чистое вращение без деформации вокруг оси на угол .

В отличие от жидких сред силовое поле в твёрдом теле не описывается скалярным полем давления, а силы действующие на произвольный элемент поверхности, не являются нормальными. Произвольная линейная зависимость между векторами и описываются с помощью компонент производного тензора , имеющего в общем случае девять компонент, однако, из условия равновесия при деформировании малого элементарного объёма следует симметричность производного тензора, который называют тензором упругих напряжений:

; .

.

Диагональные элементы тензора напряжений описывают напряжения сжатия-растяжения (нормальные), тогда как недиагональные элементы описывают сдвиговые напряжения (касательные).

Используется также матричная форма записи компонент тензора деформаций и тензора напряжений:

Тензор напряжений определяется через компоненты тензора деформаций обобщённым законом Гука:

, где: - тензор упругих постоянных.

Тензор упругих постоянных симметричен относительно следующих операций:

,

что является следствием симметрии тензора напряжений и тензора деформаций . С учётом свойств симметрии тензор имеет из 81 составляющей только 21 независимые составляющие.

Наибольшим количеством упругих постоянных характеризуются упругие свойства наименее симметричных кристаллов – 21.

Наименьшее количество упругих постоянных соответствует изотропному твёрдому телу – 2.

По свойствам симметрии кристаллы образуют следующие семь кристаллографических систем (сингоний):

1. Триклинная -21 постоянная

2. Моноклинная -13

3. Орторомбическая -9

4. Тетрагональная -7 или 6

5. Тригональная -6

6. Гексагональная -5, (металлы)

7. Кубическая -3 ( )

Так, например, пьезокварц относится к тригональной кристаллографической системе, а поляризованная пьезокерамика – к гексагональной.

Для изотропного тела закон Гука принимает более простой вид:

, - постоянные Лямэ. (1.15.)

Используется также матричная форма записи закона Гука :

.

Уравнение движения для произвольного объёма твёрдого тела выводится из условия баланса сил инерции и упругих сил, действующих через поверхность, ограничивающую объём:

,

,

,

- тройка единичных векторов.

. (1.16.)

Подстановка в (1.16.) закона Гука (1.15.) даёт уравнение движения в форме:

. (1.17.)

Уравнение (1.17.) не является волновым, но допускает разбиение на два волновых уравнения, которые проще исходного уравнения.

Для этого вводят скалярный и векторный потенциалы в силу единственности разбиения произвольного векторного поля на пару составляющих:

, таких что .

В силу этого составляющая (продольная) представима градиентом скаляра, а составляющая (поперечная) представима ротором некоторого вектора:

, (1.18.)

- скалярный и векторный потенциалы.

Справедливы следующие способы разбиения исходного уравнения на пару волновых:

,

,

,

где: - объёмная деформация .

При гармонической зависимости от времени волновые уравнения переходят в соответствующие уравнения Гельмгольца:

,

, (1.19.)

, , где: - скорости продольных и поперечных волн.

Разбиение исходного уравнения на пару волновых ещё не означает независимого существования продольных и поперечных волн и в большинстве случаев они образуют связанную комбинацию.