1.2.6. Простейшие типы волн.

Простейшими типами волн являются решения уравнения Гельмгольца (1.8.) в основных системах координат: прямоугольной, сферической и цилиндрической, которые называются соответственно плоской, сферической и цилиндрической волнами.

Плоская волна.

, где волновой вектор, - единичный вектор нормали к волновому фронту, , что означает, что волна является продольной. - радиус-вектор в точке наблюдения. Характерная особенность плоской волны – синфазное изменение давления и колебательной скорости , - волновое сопротивление.

Сферическая волна.

,

.

Амплитуда сферической волны убывает по закону , что соответствует сферической расходимости волнового фронта. Давление и колебательная скорость синфазны только на больших расстояниях . На малых расстояниях они сдвинуты по фазе на , что является признаком реактивного поля.

Колебательная скорость на малых расстояниях убывает по закону , что соответствует движению несжимаемой жидкости и также является признаком реактивности ближнего поля .

Цилиндрическая волна.

,

,

.

Амплитуда цилиндрической волны убывает по закону , что соответствует цилиндрической расходимости волнового фронта. Давление и колебательная скорость синфазны только на больших расстояниях . На малых расстояниях они сдвинуты по фазе на , что является признаком реактивного поля.

Колебательная скорость на малых расстояниях убывает по закону , что соответствует движению несжимаемой жидкости и также является признаком реактивности ближнего поля .

1.2.7. Плоские волны в твёрдом теле.

Для выяснения условий существования плоских волн в твёрдом теле нужно взять уравнение распространения в форме (1.17.):

,

- тройка единичных векторов.

Решение типа плоской звуковой волны имеет вид:

, где: - единичный вектор в направлении распространения, - радиус вектор в точку наблюдения, - произвольная функция аргумента .

,

,

. (1.20.)

Подставляя (1.20.) в уравнение распространения, получаем следующую систему уравнений:

.

Определитель системы имеет простой корень , которому соответствует продольная волна и кратный корень , которому соответствует две поперечные волны, для которых вектор смещения лежит в плоскости, перпендикулярной , .

Частный случай:

,

.

Аналитическая запись:

,

,

- волновые числа, соответствующие продольной и поперечной волнам.

Основные характеристики волнового процесса.

• геометрия волнового фронта (плоская волна, сферическая, цилиндрическая, …)

• направление распространения, заданное волновым вектором ,

• скорость распространения в направлении , равная скорости звука в среде,

• длина волны - постоянная распространения,

• тип волны: .

Следует также различать:

- фазовая скорость в направлении оси х, - угол скольжения относительно оси . , ,

,

- групповая скорость в направлении оси .

. (1.21.)

Соотношение (1.21.) является простейшим соотношением, функционально связывающим две кинематические характеристики волнового процесса, причём только в направлении .