Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы векторной алгебры.

Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек).

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Суммой векторов является вектор

Произведение , при этом коллинеарен .

Вектор сонаправлен с вектором (  ), если  > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором (  ), если  < 0.

Определение:

1. Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2. Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Если - базис в пространстве и , то числа ,  и  - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.

В связи с этим можно записать следующие свойства:

1. при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число, = .

2. при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты. ; ; + = .

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).

Линейная зависимость векторов.

Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно .

Если же только при = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Пример. Даны векторы (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейно независимы.

Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

Тогда .

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

1 =

;

2 =

3 =

Итого, координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то

.

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении /, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

 =   cos

 = 0, если  или = 0 или = 0.

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

угол между векторами:

;

Пример. Найти (5 + 3 )(2 ­- ), если

т.к. .